二叉搜索树

定义

二叉搜索树(Binary Search Tree)或称二叉查找树，也称二叉排序树(Binary Sort Tree)。

它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

  1. 若左子树不空。则左子树上全部节点的值均小于它的根节点的值；
  2. 若右子树不空。则右子树上全部节点的值均大于它的根节点的值；
  3. 左、右子树也分别为二叉搜索树。

性质

二叉搜索树与普通二叉树相比。有一些优秀的特征或性质：
  1. 因为节点是有序排放的：左子树<根节点<右子树。

    故在查找一个节点的时候。仅仅需先和根节点比較，再决定是进入左子树还是右子树查找。而普通二叉树须要一个一个地遍历。

  2. 查找、插入的时间复杂度是O(h)，h是树的高度。即当树的高度尽量低(比較平衡)时，效率高。

算法解释

不得不说，非线性结构的操作确实难于线性结构的，有些算法的逻辑比較复杂。

以下对代码中给出的部分算法进行解释，便于阅读。

  1. 构造方法：BinarySearchTree();建树的过程就是一个插入的过程。所以插入操作是重要的。
  2. 求叶子节点数：int leaf();按某种方式遍历树，若左右孩子皆为空。即为叶子节点。代码中是按中序遍历的。
  3. 查找指定节点：bool search(ElemType);依据二叉搜索树节点的分布特点，查找仅仅需在左或右子树中进行。而且插入树中已有的节点也算插入失败。插入操作逻辑比較清楚，代码易看懂。

  4. 获取指定节点的前驱：BTNode* predecessor(ElemType);这个操作在普通二叉树中是没有的。在二叉搜索树中，某节点的前驱指的是中序遍历时的前驱。故该操作本质上是一个中序遍历的过程。

    略微不同的是，在遍历的过程中须要记录近期一次遍历的节点plastVisit，并推断当前訪问的节点是否是指定节点。若是，则返回plastVisit。

  5. 获取后继和获取前驱的道理是一样的。

  6. 获取最小节点：BTNode* minimum();二叉搜索树中的最小节点一定是位于左子树(假设存在)。

    于是，不断遍历左子树就可以。比較简单。

  7. 获取最大节点：BTNode* maximum();二叉搜索树中的最大节点一定是位于右子树(假设存在)。于是，不断遍历右子树就可以，比較简单。
  8. 插入节点：bool insertNode(ElemType);插入的过程本质上也是查找，须要记住的是：新节点会插入到叶子节点处。

  9. 遍历：void traverse();二叉搜索树的遍历能够是多样的，各种遍历方式也在上一篇二叉树中实现了，这里仅仅给出中序遍历。由于，对一棵二叉搜索树进行中序遍历会得到节点从小到大的排序序列。
  10. 删除节点：bool deleteNode(ElemType);删除的规则是这种：
  • 若待删节点无左子树，则用其右子树的根节点替换它。
  • 若待删节点有左子树，则在左子树中寻找中序遍历的最后一个节点，用该节点替换它。


删除规则比較好看懂。但详细实施时，细节繁多，非常不easy。

这也是全部操作中最复杂的。绘图理解：


其他操作在上一篇二叉树中已有所解释。不再赘述。

详细细节还得看代码，代码较长，建议以方法为单位来理解。

代码

类定义

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef int ElemType;
//二叉树节点
class BTNode   //Binary Tree Node
{
public:
	ElemType data;
	BTNode* lchild;   //左孩子
	BTNode* rchild;   //右孩子
	BTNode(ElemType d, BTNode* left = NULL, BTNode* right = NULL)
		:data(d), lchild(left), rchild(right){}
};
//二叉搜索树
class BinarySearchTree
{
private:
	//树根
	BTNode* Root;
	//节点总数
	int size;
public:
	//构造方法
	BinarySearchTree();
	//析构方法
	~BinarySearchTree();
	//推断树空
	bool empty()
	{return Root == NULL;}
	//求节点总数
	int getSize()
	{return size;}
	//求叶子节点数
	int leaf();
	//查找
	bool search(ElemType);
	//获取父节点
	BTNode* parent(ElemType);
	//获取前驱
	BTNode* predecessor(ElemType);
	//获取后继
	BTNode* successor(ElemType);
	//获取最小节点
	BTNode* minimum();
	//获取最大节点
	BTNode* maximum();
	//插入新节点
	bool insertNode(ElemType);
	//删除节点
	bool deleteNode(ElemType);
	//中序遍历
	void traverse()
	{inOrderWithoutRecursion();}
	void inOrderWithoutRecursion();
};

类实现

//构造方法
BinarySearchTree::BinarySearchTree()
{
	size = 0;
	Root = NULL;
	ElemType data;
	cout << "建树，输入节点，输入0结束：";
	while (cin >> data && data)
		insertNode(data);
}
//析构方法
BinarySearchTree::~BinarySearchTree()
{
	if (!empty())
	{
		queue<BTNode*> q;
		q.push(Root);
		BTNode* p = NULL;
		while (!q.empty())
		{
			p = q.front();
			q.pop();
			//左孩子不为空。则左孩子入队
			if (p->lchild)
				q.push(p->lchild);
			//右孩子不为空。则右孩子入队
			if (p->rchild)
				q.push(p->rchild);
			//释放内存
			delete p;
		}
	}
}
//求叶子节点数
int BinarySearchTree::leaf()
{
	int num = 0;
	//按中序遍历
	if (!empty())
	{
		stack<BTNode*> s;
		BTNode* p = Root;
		while (!s.empty() || p)
		{
			if (p)
			{
				s.push(p);
				p = p->lchild;
			}
			else
			{
				p = s.top();
				s.pop();
				//左右子树均为空，则为叶子节点
				if (p->lchild == NULL && p->rchild == NULL)
					num++;
				p = p->rchild;
			}
		}
	}
	return num;
}
//查找
bool BinarySearchTree::search(ElemType data)
{
	if (!empty())
	{
		BTNode* p = Root;
		while (p)
		{
			if (data == p->data)
				return true;
			else if (data < p->data)
				p = p->lchild;
			else
				p = p->rchild;
		}
	}
	//树空或查找失败
	return false;
}
BTNode* BinarySearchTree::parent(ElemType data)
{
	if (!empty())
	{
		//根节点的父节点为空
		if (Root->data == data)
			return NULL;
		stack<BTNode*> s;
		BTNode* p = Root;
		while (!s.empty() || p)
		{
			if (p)
			{
				s.push(p);
				p = p->lchild;
			}
			else
			{//左子树訪问完后，訪问右子树
				p = s.top();
				s.pop();
				if ((p->lchild && p->lchild->data == data) || (p->rchild && p->rchild->data == data))
					return p;
				p = p->rchild;
			}
		}
	}
	return NULL;
}
//获取前驱
BTNode* BinarySearchTree::predecessor(ElemType data)
{
	BTNode* pcur, *plastVisit;
	pcur = plastVisit = NULL;
	if (!empty())
	{
		stack<BTNode*> s;
		pcur = Root;
		while (!s.empty() || pcur)
		{
			if (pcur)
			{
				//plastVisit = pcur;
				s.push(pcur);
				pcur = pcur->lchild;
			}
			else
			{
				pcur = s.top();
				s.pop();
				if (pcur->data == data)
					return plastVisit;
				else
					plastVisit = pcur;
				pcur = pcur->rchild;
			}
		}
	}
	return plastVisit;
}
//获取后继
BTNode* BinarySearchTree::successor(ElemType data)
{
	BTNode* pcur = NULL;
	pcur = Root;
	if (!empty())
	{
		stack<BTNode*> s;
		while (!s.empty() || pcur)
		{
			if (pcur)
			{
				s.push(pcur);
				pcur = pcur->lchild;
			}
			else
			{
				pcur = s.top();
				s.pop();
				if (pcur->data == data)
					return pcur->rchild;
				pcur = pcur->rchild;
			}
		}
	}
	//空树
	return NULL;
}
//获取最小节点
BTNode* BinarySearchTree::minimum()
{
	//最小节点在左子树最下边
	if (!empty())
	{
		BTNode* p = Root;
		while (p->lchild)
			p = p->lchild;
		return p;
	}
	//树空
	return NULL;
}
//获取最大节点
BTNode* BinarySearchTree::maximum()
{
	//最大节点在右子树最下边
	if (!empty())
	{
		BTNode* p = Root;
		while (p->rchild)
			p = p->rchild;
		return p;
	}
	//树空
	return NULL;
}
//插入新节点
bool BinarySearchTree::insertNode(ElemType data)
{
	/*
	 新节点都会被插入到叶子处
	 插入一般不会失败，除非是插入了反复节点。
	*/
	if (Root == NULL)
	{
		Root = new BTNode(data);
		size++;
		return true;
	}
	else
	{
		BTNode* p = Root;
		while (true)
		{
			if (data < p->data)
			{
				//假设有左子树。则继续遍历左子树
				if (p->lchild)
					p = p->lchild;
				else
				{//否则，插入节点，下同
					p->lchild = new BTNode(data);
					break;
				}
			}
			else if (data > p->data)
			{
				if (p->rchild)
					p = p->rchild;
				else
				{
					p->rchild = new BTNode(data);
					break;
				}
			}
			else//遇到反复节点
				return false;
		}
		//插入新节点成功，节点总数加一
		size++;
		return true;
	}
}
//删除节点
bool BinarySearchTree::deleteNode(ElemType data)
{
	/*
	删除规则
	1.若待删节点无左子树，则用其右子树的根节点替换它。

	2.若待删节点有左子树，则在左子树中寻找中序遍历的最后一个节点，用该节点替换它。

	*/
	if (!empty())
	{
		//树中无此节点。删除失败
		if (!search(data))
			return false;
		/*
		p:待删结点
		Parent:待删除节点的父节点
		temp:替换节点
		tempp:替换节点的父节点
		*/
		BTNode* p, *Parent, *temp, *tempp;
		p = Parent = temp = tempp = NULL;
		//获取待删除节点的父节点
		Parent = parent(data);
		//依据父节点。确定待删结点
		if (Parent->lchild && Parent->lchild->data == data)
			p = Parent->lchild;
		else
			p = Parent->rchild;
		//假设左子树不为空，查找当中序遍历的最后一个节点
		if (p->lchild)
		{
			temp = p->lchild;
			while (temp->rchild)
			{
				tempp = temp;
				//不断遍历右子树
				temp = temp->rchild;
			}
			//假设p的左孩子即是替换节点
			if (tempp == NULL)
				p->lchild = temp->lchild;
			else//替换节点的左子树作为其父节点的右子树(这句难以理解，须要多想想)
				tempp->rchild = temp->lchild;
			//替换节点继承待删结点的左右孩子
			temp->lchild = p->lchild;
			temp->rchild = p->rchild;
		}
		else
			temp = p->rchild;
		//替换节点替换掉待删结点(这也是为什么须要找到待删结点的父节点)
		if (Parent == NULL)  //待删结点恰为根节点
			Root = temp;
		else if (Parent->lchild == p)  //待删结点本身处于左子树
			Parent->lchild = temp;
		else//待删结点本身处于右子树
			Parent->rchild = temp;
		//删除待删结点
		delete p;
		//节点总数减一
		size--;
		return true;
	}
	//树空
	return false;
}
//中序遍历
void BinarySearchTree::inOrderWithoutRecursion()
{
	if (!empty())
	{
		stack<BTNode*> s;
		BTNode* p = Root;
		while (!s.empty() || p)
		{
			if (p)
			{
				s.push(p);
				p = p->lchild;
			}
			else
			{
				p = s.top();
				s.pop();
				cout << setw(4) << p->data;
				p = p->rchild;
			}
		}
		cout << endl;
	}
}

主函数

int main()
{
	cout << "******二叉搜索树***by David***" << endl;
	BinarySearchTree tree;
	cout << "中序遍历" << endl;
	tree.traverse();
	cout << "树中节点总数 " << tree.getSize() << endl;
	cout << "叶子节点数 " << tree.leaf() << endl;
	BTNode* p = NULL;
	p = tree.minimum();
	p ? cout << "最小节点是 " << p->data << endl : cout << "树空。" << endl;
	p = tree.maximum();
	p ? cout << "最大节点是 " << p->data << endl : cout << "树空。" << endl;
	ElemType data = 2;
	cout << endl << "查找节点 " << data << endl;
	if (tree.search(data))
	{
		cout << "节点 " << data << " 查找成功！
" << endl;
		p = tree.predecessor(data);
		p ?
 cout << "节点 " << data << " 的前驱是 " << p->data << endl : cout << "无前驱！" << endl;
		p = tree.successor(data);
		p ? cout << "节点 " << data << " 的后继是 " << p->data << endl : cout << "无后继！" << endl;
	}
	else
		cout << "节点 " << data << "不在树中！" << endl;
	data = 6;
	cout << endl <<"删除节点 " << data << endl;
	if (tree.deleteNode(data))
	{
		cout << "删除成功！" << endl;
		cout << "中序遍历" << endl;
		tree.traverse();
		cout << "树中节点总数 " << tree.getSize() << endl;
		cout << "叶子节点数 " << tree.leaf() << endl;
		data = 5;
		cout << endl << "查找节点 " << data << endl;
		if (tree.search(data))
		{
			cout << "节点 " << data << " 查找成功！
" << endl;
			p = tree.predecessor(data);
			p ? cout << "节点 " << data << " 的前驱是 " << p->data << endl : cout << "无前驱！" << endl;
			p = tree.successor(data);
			p ? cout << "节点 " << data << " 的后继是 " << p->data << endl : cout << "无后继！" << endl;
		}
		else
			cout << "节点 " << data << "不在树中！" << endl;
	}
	else
		cout << "删除失败！" << endl;
	cout << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

执行



算法优化

插入算法的一个优化版本号
//插入新节点
bool BinarySearchTree::insertNode(ElemType data)
{
	BTNode *parent, *child;
	parent = NULL;
	child = Root;
	while (child)
	{
		parent = child;
		if (data < child->data)
			child = child->lchild;
		else if (data > child->data)
			child = child->rchild;
		else//插入同样keyword的节点。返回false
			return false;
	}
	//此时parent要么为空，要么就是叶子节点
	if (parent == NULL)//空树
		Root = new BTNode(data);
	else if (data < parent->data)
		parent->lchild = new BTNode(data);
	else
		parent->rchild = new BTNode(data);
	size++;
	return true;
}

完整代码下载：二叉搜索树
    
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