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快速傅里叶变换(FFT)详解

本文只讨论FFT在信息学奥赛中的应用

文中内容均为个人理解，如有错误请指出，不胜感激

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前言

先解释几个比较容易混淆的缩写吧

DFT：离散傅里叶变换—> $O (n^{2})$

FFT：快速傅里叶变换—> $O (n * \log (n)$

FNTT/NTT：快速傅里叶变换的优化版—>优化常数及误差

FWT：快速沃尔什变换—>利用类似FFT的东西解决一类卷积问题

MTT：毛爷爷的FFT—>非常nb/任意模数

FMT 快速莫比乌斯变化—>感谢stump提供

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多项式

系数表示法

设 $A (x)$

则 $A (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} * x^{i}$

例如： $A (3) = 2 + 3 * x + x^{2}$

利用这种方法计算多项式乘法复杂度为 $O (n^{2})$

（第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘）

点值表示法

将 $n$

则该多项式被这 $n$

其中 $y_{i} = \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} * x_{i}^{j}$

例如：上面的例子用点值表示法可以为 $(0, 2), (1, 6), (2, 12)$

利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍然为 $O (n^{2})$

（选点 $O (n)$

我们可以看到，两种方法的时间复杂度都为 $O (n^{2})$

对于第一种方法，由于每个点的系数都是固定的，想要优化比较困难

对于第二种方法，貌似也没有什么好的优化方法，不过当你看完下面的知识，或许就不这么想了

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复数

在介绍复数之前，首先介绍一些可能会用到的东西

向量

同时具有大小和方向的量

在几何中通常用带有箭头的线段表示

圆的弧度制

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制

公式:

$1^{\circ} = \frac{π}{180} r a d$

$180^{\circ} = π r a d$

平行四边形定则

(好像画的不是很标准。。)

平行四边形定则：AB+AD=AC

复数

定义

设 $a, b$

在复平面中， $x$

模长：从原点 $(0, 0)$

幅角：假设以逆时针为正方向，从 $x$

运算法则

加法：

因为在复平面中，复数可以被表示为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满足平行四边形定则（就是上面那个）

乘法：

几何定义：复数相乘，模长相乘，幅角相加

代数定义：

(a + b i) * (c + d i)

= a c + a d i + b c i + b d i 2

= a c + a d i + b c i - b d

= (a c - b d) + (b c + a d) i

单位根

下文中，默认 $n$

在复平面上，以原点为圆心， $1$

根据复数乘法的运算法则，其余 $n - 1$

注意 $ω_{n}^{0} = ω_{n}^{n} = 1$

那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决

ω k n = cos k * 2 π n + i sin k * 2 π n

例如

图中向量 $A B$

单位根的幅角为周角的 $\frac{1}{n}$

在代数中，若 $z^{n} = 1$

单位根的性质

$ω_{n}^{k} = \cos k \frac{2 π}{n} + i \sin k \frac{2 π}{n}$

$ω_{2 n}^{2 k} = ω_{n}^{k}$

证明：

ω 2 k 2 n = cos 2 k * 2 π 2 n + i sin 2 k * 2 π 2 n

= ω k n

$ω_{n}^{k + \frac{n}{2}} = - ω_{n}^{k}$

ω n 2 n = cos n 2 * 2 π n + i sin n 2 * 2 π n

= cos π + i sin π

= - 1

$ω_{n}^{0} = ω_{n}^{n} = 1$

讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。。

OK！各位坐稳了，前方高能！

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快速傅里叶变换

我们前面提到过，一个 $n$

那么我们可以把单位根的 $0$

我们设多项式 $A (x)$

那么

A (x) = a 0 + a 1 * x + a 2 * x 2 + a 3 * x 3 + a 4 * x 4 + a

将其下标按照奇偶性分类

A (x) = (a 0 + a 2 * x 2 + a 4 * x 4 + \dots + a n - 2 * x n - 2

设

A 1 (x) = a 0 + a 2 * x + a 4 * x 2 + \dots + a n - 2 * x n 2

A 2 (x) = a 1 + a 3 * x + a 5 * x 2 + \dots + a n - 1 * x n 2

那么不难得到

A (x) = A 1 (x 2) + x A 2 (x 2)

我们将 $ω_{n}^{k} (k < \frac{n}{2})$

A (ω k n) = A 1 (ω 2 k n) + ω k n A 2 (ω 2 k n)

= A 1 (ω k n 2 ) + ω k n A 2 ( ω k n 2 )

同理，将 $ω_{n}^{k + \frac{n}{2}}$

A (ω k + n 2 n ) = A 1 ( ω 2 k + n n ) + ω k + n 2 n ( ω 2

= A 1 (ω 2 k n * ω n n) - ω k n A 2 (ω 2 k n * ω n n)

= A 1 (ω 2 k n) - ω k n A 2 (ω 2 k n)

大家有没有发现什么规律？

没错！这两个式子只有一个常数项不同！

那么当我们在枚举第一个式子的时候，我们可以 $O (1)$

又因为第一个式子的 $k$

所以我们将原来的问题缩小了一半！

而缩小后的问题仍然满足原问题的性质，所以我们可以递归的去搞这件事情！

直到多项式仅剩一个常数项，这时候我们直接返回就好啦

时间复杂度：

不难看出FFT是类似于线段树一样的分治算法。

因此它的时间复杂度为 $O (n l o g n)$

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快速傅里叶逆变换

不要以为FFT到这里就结束了。

我们上面的讨论是基于点值表示法的。

但是在平常的学习和研究中很少用点值表示法来表示一个多项式。

所以我们要考虑如何把点值表示法转换为系数表示法，这个过程叫做傅里叶逆变换

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n - 1})$

设有另一个向量 $(c_{0}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n - 1})$

c k = \sum i = 0 n - 1 y i (ω - k n) i

即多项式 $B (x) = y_{0}, y_{1} x, y_{2} x^{2}, \dots, y_{n - 1} x^{n - 1}$

emmmm又到推公式时间啦

$(c_{0}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n - 1})$

c k = \sum i = 0 n - 1 y i (ω - k n) i

= \sum i = 0 n - 1 (\sum j = 0 n - 1 a j (ω i n) j) (ω - k n

= \sum i = 0 n - 1 (\sum j = 0 n - 1 a j (ω j n) i) (ω - k n

= \sum i = 0 n - 1 (\sum j = 0 n - 1 a j (ω j n) i (ω - k n)

= \sum i = 0 n - 1 \sum j = 0 n - 1 a j (ω j n) i (ω - k n) i

= \sum i = 0 n - 1 \sum j = 0 n - 1 a j (ω j - k n) i

= \sum j = 0 n - 1 a j (\sum i = 0 n - 1 (ω j - k n) i)

设 $S (x) = \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i}$

将 $ω_{n}^{k}$

S (ω k n) = 1 + (ω k n) + (ω k n) 2 + \dots (ω k n) n - 1

当 $k! = 0$

等式两边同乘 $ω_{n}^{k}$

ω k n S (ω k n) = ω k n + (ω k n) 2 + (ω k n) 3 + \dots (ω k n) n

两式相减得

ω k n S (ω k n) - S (ω k n) = (ω k n) n - 1

S (ω k n) = ( ω k n ) n - 1 ω k n - 1

S (ω k n) = ( ω n n ) k - 1 ω k n - 1

S (ω k n) = 1 - 1 ω k n - 1

观察这个式子，不难看出它分母不为0，但是分子为0

因此，当 $K! = 0$

那当 $k = 0$

很显然， $S (ω_{n}^{0}) = n$

继续考虑刚刚的式子

c k = \sum j = 0 n - 1 a j (\sum i = 0 n - 1 (ω j - k n) i)

当

j \neq k

c k = n a k

j \neq k

a k = c k n

这样我们就得到点值与系数之间的表示啦

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理论总结

至此，FFT的基础理论部分就结束了。

我们来小结一下FFT是怎么成功实现的

首先，人们在用系数表示法研究多项式的时候遇阻

于是开始考虑能否用点值表示法优化这个东西。

然后根据复数的两条性质（这个思维跨度比较大）得到了一种分治算法。

最后又推了一波公式，找到了点值表示法与系数表示法之间转换关系。

emmmm

其实FFT的实现思路大概就是

系数表示法—>点值表示法—>系数表示法

引用一下远航之曲大佬的图

当然，再实现的过程中还有很多技巧

我们根据代码来理解一下

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递归实现

递归实现的方法比较简单。

就是按找我们上面说的过程，不断把要求的序列分成两部分，再进行合并

在c++的STL中提供了现成的complex类，但是我不建议大家用，毕竟手写也就那么几行，而且万一某个毒瘤卡STL那岂不是很ＧＧ？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=2*1e6+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex
{
    double x,y;
    complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];
complex operator + (complex a,complex b){ return complex(a.x+b.x , a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){ return complex(a.x-b.x , a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y , a.x*b.y+a.y*b.x);}//不懂的看复数的运算那部分 
void fast_fast_tle(int limit,complex *a,int type)
{
    if(limit==1) return ;//只有一个常数项
    complex a1[limit>>1],a2[limit>>1];
    for(int i=0;i<=limit;i+=2)//根据下标的奇偶性分类
        a1[i>>1]=a[i],a2[i>>1]=a[i+1];
    fast_fast_tle(limit>>1,a1,type);
    fast_fast_tle(limit>>1,a2,type);
    complex Wn=complex(cos(2.0*Pi/limit) , type*sin(2.0*Pi/limit)),w=complex(1,0);
    //Wn为单位根，w表示幂
    for(int i=0;i<(limit>>1);i++,w=w*Wn)//这里的w相当于公式中的k 
        a[i]=a1[i]+w*a2[i],
        a[i+(limit>>1)]=a1[i]-w*a2[i];//利用单位根的性质，O(1)得到另一部分 
}
int main()
{
    int N=read(),M=read();
    for(int i=0;i<=N;i++) a[i].x=read();for(int i=0;i<=M;i++) b[i].x=read();int limit=1;while(limit<=N+M) limit<<=1;
    fast_fast_tle(limit,a,1);
    fast_fast_tle(limit,b,1);//后面的1表示要进行的变换是什么类型//1表示从系数变为点值//-1表示从点值变为系数 //至于为什么这样是对的，可以参考一下c向量的推导过程， for(int i=0;i<=limit;i++)
        a[i]=a[i]*b[i];
    fast_fast_tle(limit,a,-1);for(int i=0;i<=N+M;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/limit+0.5));//按照我们推倒的公式，这里还要除以n return0;}

这里还有一个听起来很装B的优化—蝴蝶操作

观察合并的过程，w*a2[i] 这一项计算了两次，因为理论上来说复数的乘法是比较慢的，所以我们可以把这一项记出来

    for(int i=0;i<(limit>>1);i++,w=w*Wn)//这里的w相当于公式中的k 
    {
        complex t=w*a2[i];//蝴蝶操作
        a[i]=a1[i]+t,
        a[i+(limit>>1)]=a1[i]-t;//利用单位根的性质，O(1)得到另一部分     
    }

woc? 脸好疼。。。。。。

咳咳。

速度什么的才不是关键呢？

关键是我们AC不了啊啊啊

表着急，AC不了不代表咱们的算法不对，只能说这种实现方法太low了

下面介绍一种更高效的方法

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迭代实现

再盗一下那位大佬的图

观察一下原序列和反转后的序列？

聪明的你有没有看出什么显而易见的性质？

没错！

我们需要求的序列实际是原序列下标的二进制反转！

因此我们对序列按照下标的奇偶性分类的过程其实是没有必要的

这样我们可以 $O (n)$

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=1e7+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex
{
    double x,y;
    complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];
complex operator + (complex a,complex b){ return complex(a.x+b.x , a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){ return complex(a.x-b.x , a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y , a.x*b.y+a.y*b.x);}//不懂的看复数的运算那部分 
int N,M;
int l,r[MAXN];
int limit=1;
void fast_fast_tle(complex *A,int type)
{
    for(int i=0;i<limit;i++) 
        if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);//求出要迭代的序列 
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)//待合并区间的中点
    {
        complex Wn( cos(Pi/mid) , type*sin(Pi/mid) ); //单位根 
        for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R)//R是区间的右端点，j表示前已经到哪个位置了 
        {
            complex w(1,0);//幂 
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn)//枚举左半部分 
            {
                 complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];//蝴蝶效应 
                A[j+k]=x+y;
                A[j+mid+k]=x-y;}}}}int main(){int N=read(),M=read();for(int i=0;i<=N;i++) a[i].x=read();for(int i=0;i<=M;i++) b[i].x=read();while(limit<=N+M) limit<<=1,l++;for(int i=0;i<limit;i++)
        r[i]=( r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));// 在原序列中 i 与 i/2 的关系是 ： i可以看做是i/2的二进制上的每一位左移一位得来// 那么在反转后的数组中就需要右移一位，同时特殊处理一下奇数 
    fast_fast_tle(a,1);
    fast_fast_tle(b,1);for(int i=0;i<=limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fast_fast_tle(a,-1);for(int i=0;i<=N+M;i++)
        printf("%d ",(int)(a[i].x/limit+0.5));return0;}

作者：自为风月马前卒

个人博客http://attack204.com//

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