母函数应用

砝码称重

有了对母函数的一般认识后，我们可以用它来解决一些简单的计数问题，比如说下面这道题：我们有1，2，3，4g四个砝码，一共可以称出多少种重量；而且，对于某一个重量，共有多少种称法？这个可以直接用母函数求解，1g的对应1+x，2g的对应1+x²，以此类推。所以整个母函数就是G(x)=(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴).我们只要将其连乘展开，每一项的系数就是对应x的k次幂，加起来有k克的话，有多少种可能性。展开后我们得到

G(x)=(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+2x⁸+x⁹+x¹⁰

也就意味着，能从1克称到10克，一共能称出10种，某个重量有多少种组成方案呢？答案就是对应幂次前面的系数了。

 

这个时候我们会发现，砝码的计数不再需要一个一个地枚举了，我们只需要列出它的母函数，将其展开就可以对其组合方案一目了然了。不过这种确定的方案不唯一，那么有没有一种方法能帮我们唯一确定重量呢？

 

来看这道题：若有1，2，4，8，16，32g的砝码各一枚，问能称出哪几种重量，有几种可能方案？

那它的母函数就是G(x)=(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸)(1+x¹⁶)(1+x³²),这个时候，我们已经建立了每个砝码对应的母函数后，通过相乘就得到了整个问题的母函数。但很显然，这个式子展开的话很复杂，怎么简便地展开呢。首先，看到(1+x)，回想一下中学时的“平方差公式”——(1+x)(1-x)=(1-x²)，所以我们可以用(1-x²)/(1-x)来代替(1+x)，其余高次项同理。

所以化简后的母函数就是这样：

嘿！伙计，看我们发现了什么——斜着可以抵消，那这个式子最后就变成了(1-x⁶⁴)/(1-x),现在的问题转化成了求这个表达式的值，那我们也知道(1-x)(1+x+x²+…+x⁶³)=(1-x⁶⁴)这样一个事实，因此：

所以一共可以称出从0克到63克的质量，根据系数，每种称重只有一种方案。

 

那根据这个例子，我们可以看到，只要用1，2，4，8这样2的k次幂克数做砝码，就能唯一确定一些重量了。同时也要注意到，如果2的k次方进行累加的话，就会有这样一条性质：任何一个10进制数n，都可以唯一的表达成2的k次方进行累加，用数学表达式写就是：

换句话说，一个10进制数，对应，且仅对应一个二进制数。这也是使用二进制数合理的原因。

 

整数拆分

下面我们来分析一下有关整数的拆分，比如说对于一个十进制数，也可以拆成很多个数相加。假如说有一个数n，要拆分成1，2，3，…，m的和，并允许重复，求其母函数。根据前面的经验，分析一下问题，可以得到

G₁（x）=(1+x+x²+...)(1+x²+x⁴+...)...(1+x^m+x^2m+...)

emmm有点复杂啊我的老伙计，想想高数里的泰勒展开，找与上式类似的进行合并。

所以每一项都可以写成对应的分式：

将分母进行累乘，就得到了

到这里就不再继续计算了，明白思想就好。

 

我们再深入一下，讨论如果在拆分的时候其中的m至少出现过一次，那母函数会是怎么样的呢？仔细想想，其实应该和前面差不多，只是这里的m和上一道题略有不同。

G₂（x）=(1+x+x²+...)(1+x²+x⁴+...)...(x^m+x^2m+...)

最后一个括号里缺了个1，当然啊，要求m至少出现一次，那就不可能不出现，就没有1了。那对这样一个式子我们如何去进一步地抽象呢——可以提出全部的m次方，最后一个括号里就又变成了

(1+x^m+x^2m+...)

后面再多乘一个x^m,放到分子上，

所以这就是它的母函数，我们用G2表示。这是一种分析方法

 

反过来讲，对应于m至少出现一次的，可以用全部方案减去m一次都不出现，那m根本不出现意味着只拆分到m-1，

因此第一个式子代表1到m拆分，第二个代表1到m-1进行拆分，相减就得到m至少出现一次的拆分数。

 

上面这些例子离生活挺远的，“道理我都懂，但这些有什么卵用啊”可能是大家脑海里的想法吧2333 

 

我们比较关心的整数拆分可能就是钱了，那来看一下钱的表现力，用母函数分析一下硬币的组合，说到这里，应该能想到之前学c语言里讲过通过多重循环枚举算出硬币的组合方案，那个太暴力了，时间复杂度很高，我们现在找一种聪明的办法。以人民币为例，有1角，5角，1元的常用硬币，它的母函数就是

G(x)=(1+x¹⁰+x²⁰+...)(1+x⁵⁰+x¹⁰⁰+...)(1+x¹⁰⁰+x²⁰⁰+...)

每一个括号里都是无穷多项，因为这里的每一种硬币不限制数量，和上面的砝码不同。

 

那美元的硬币有怎样的表现力呢，常见的有1角，2.5角(quarter)，美元硬币的母函数就是

G(x)=(1+x¹⁰+x²⁰+...)(1+x²⁵+x⁵⁰+...)

 

通过对比两种常用硬币的组合方案，有如下的统计

可以看出，还是人民币的表现形式更丰富一些2333

 

btw 有时候在美国超市还会看到9毛5这样的分数，因为还有一种5分硬币，这个不太常用，但是如果把这个也计算在内，再分析它的表现力，就会得到——

这时候美元的表现力陡然增加。它的组合数会非常之多，我们可以看到，仅仅是这样一个简单的组合问题，就有这么多的变化形式，仅仅利用枚举是做不到的，但是有了母函数，我们可以非常灵活地处理这些计数问题。