【JZOJ4888】【NOIP2016提高A组集训第14场11.12】最近公共祖先

题目描述

YJC最近在学习树的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：最近公共祖先。对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。YJC很聪明，他很快就学会了如何求最近公共祖先。他现在想寻找最近公共祖先有什么性质，于是他提出了这样的一个问题：n层的满k叉树T，求对于每一对(i,j)(1≤i,j≤T的点数)，LCA(T,i,j)的深度的和是多少。这个数字n层的满k叉树指一棵带标号的有根树，深度为i(0≤i

数据范围

对于30%的数据，满足2≤n,k≤8；
对于50%的数据，满足2≤n,k≤1000000；
对于100%的数据，满足2≤n,k≤998244351。

解法

设f[i]表示贡献为i的点对的个数，那么对于一棵n层k叉树：

f [i] = (k n - i - 1 k - 1) 2 - k * (k n - i - 1 - 1 k - 1) 2

则

a n s = \sum i = 1 n - 1 i * k i * f [i] = \sum i = 1 n - 1 i * k i * ((k n - i - 1 k - 1) 2 - k * (k n - i - 1 - 1 k - 1) 2) = k 2 n * ( \sum n - 1 i * 1 i * k - i ) - k 2 n - 1 * ( \sum n - 1 i * 1 i * k - i ) + ( 1 - k ) * ( \sum n - 1 i = 1 i * k i ) ( k - 1 ) 2

详细推的过程看图：

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="lca.in";
const char* fout="lca.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll mo=998244353;
ll n,m,i,j;
ll ans,tmp,tmd;
ll qpower(ll a,ll b){
    ll c=1;
    while (b){
        if (b&1) c=c*a%mo;
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
ll N(ll a){
    return qpower(a,mo-2);
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    cin>>n>>m;
    tmp=((n*(qpower(m,n)-1)%mo*N(m-1)%mo-((qpower(m,n+1)-1)*N(m-1)%mo-n-1)*N(m-1)%mo)%mo+mo)%mo;
    tmd=(n*(qpower(m,n)-1)%mo*N(m-1)%mo-n-tmp)%mo*N(qpower(m,n))%mo;
    ans=N(sqr(m-1)%mo)*(qpower(m,2*n)*tmd%mo-qpower(m,2*n-1)*tmd%mo+(1-m)*tmp%mo)%mo;
    ans=(ans%mo+mo)%mo;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

启发

往死里推，正难则反。