堆排序

1、什么是堆（heap）

　　首先，我们来看看什么是堆（heap）。堆满足以下性质：

　　（1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

　　（2）堆总是一棵完全二叉树（Complete Binary Tree）。

　　完全二叉树是由满二叉树（Full Binary Tree）而引出来的。除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树称为满二叉树。如果除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点，这样的二叉树被称为完全二叉树。

一棵完全二叉树，如果某个节点的值总是不小于其父节点的值，则根节点的关键字是所有节点关键字中最小的，称为小根堆（小顶堆）；如果某个节点的值总是不大于其父节点的值，则根节点的关键字是所有节点关键字中最大的，称为大根堆（大顶堆）。从根节点开始，按照每层从左到右的顺序对堆的节点进行编号：

可以发现，如果某个节点的编号为i，则它的子节点的编号分别为：2i、2i+1。据此，推出堆的数学定义：具有n个元素的序列（k₁,k₂,...,k_n)，当且仅当满足

时称之为堆。需要注意的是，堆只对父子节点做了约束，并没有对兄弟节点做任何约束，左子节点与右子节点没有必然的大小关系。如果用数组存储堆中的数据，逻辑结构与存储结构如下：

2、堆排序（Heapsort)）

　　初始时把要排序的n个数看作是一棵顺序存储的完全二叉树，调整它们的存储顺序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小（最大）的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依次类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。这个过程就称为堆排序。

（1）、建立堆

　　堆排序首先需要解决一个问题是：如何将一个不是堆的完全二叉树调整为堆？例如我们要将这样一个无序序列：

49，38，65，97，76，13，27，49

建成堆，将它直接映射成二叉树，结果如下图的(a)：

图(a)是一个完全二叉树，但不是堆。我们将它调整为小顶堆。堆有一个性质是：堆的每个子树也是堆。调整的核心思想就是让树的每棵子树都成为堆，以某节点与它的左子节点、右子节点为操作单位，将三者中最小的元素置于子树的根上。具体步骤如下：

　　step1：图(a)中最后一个元素是49，在树中的序号为8，对应的数组下标则为7，它的父节点对应的数组下标为3（如果一个元素对应的存储数组的下标为i，则它的父节点对应的存储数组的下标为(i-1)/2），49小于97，所以两者交换位置。

step2：经过step1之后，以第三层元素为根节点的所有子树都已是堆了，下一步继续调整以第二层元素为根节点的子树。先调整以65为根的子树，再调整以38为根的子树（满足堆的要求，实际上不用调整）。

step3：然后调整以第一层元素为根的子树，即以49为根，以38为左子节点，以13为右子节点的子树，交换13与49的位置。一旦交换位置，就有可能影响本来已经是堆的子树。13与49交换位置之后，破坏了右子树，将焦点转移到49上面来，继续调整以它为根节点的子树。如果此次调整又影响了下一层的子树，继续调整，直至叶子节点。

（2）、排序

　　堆建好之后开始排序。如果建的是大顶堆，堆顶就是最大值，取出放入数组中的最后一个位置，将堆底（数组中的最后一个元素）放入堆顶。这一操作会破坏堆，需要将前n-1个元素调整成堆。然后再取出堆顶的值，放入数组的倒数第二个位置，堆底（数组中的倒数第二个元素）放入堆顶，再将前n-2个元素调整成堆。按照上面的思路循环操作，最终就会将数组中的元素按升序的顺序排列完毕。具体过程如下图所示：

①建堆过程：

②排序过程：

③：排序好的堆：

3、代码实现（Java版）

(1)java实现

//堆排序  
      public void heapSort(){  
              
             buildHeap();  
             System.out.println("建堆：");  
             printTree(array.length);  
              
             int lastIndex = array.length-1;  
             while(lastIndex>0){  
                    swap(0,lastIndex);  //取出堆顶元素，将堆底放入堆顶。其实就是交换下标为0与lastIndex的数据  
                    if(--lastIndex == 0) break;  //只有一个元素时就不用调整堆了，排序结束  
                    adjustHeap(0,lastIndex);  //调整堆  
                     
                    System.out.println("调整堆：");  
                    printTree(lastIndex+1);  
             }  
              
      }  
       
      /** 
       * 用数组中的元素建堆 
       */  
      private void buildHeap(){  
             int lastIndex = array.length-1;  
             for(inti= (lastIndex-1)/2;i>=0;i--){ //(lastIndex-1)/2就是最后一个元素的根节点的下标，依次调整每棵子树  
                    adjustHeap(i,lastIndex);  //调整以下标i的元素为根的子树                    
             }  
      }  
       
      /** 
       * 调整以下标是rootIndex的元素为根的子树 
       *@param rootIndex 根的下标 
       *@param lastIndex 堆中最后一个元素的下标 
       */  
      private void adjustHeap(int rootIndex,intlastIndex){  
              
             int biggerIndex = rootIndex;   
             int leftChildIndex = 2*rootIndex+1;  
             int rightChildIndex = 2*rootIndex+2;  
              
             if(rightChildIndex<=lastIndex){  //存在右子节点，则必存在左子节点  
                     
                    if(array[rootIndex]<array[leftChildIndex] || array[rootIndex]<array[rightChildIndex]){ //子节点中存在比根更大的元素  
                     biggerIndex = array[leftChildIndex]<array[rightChildIndex] ? rightChildIndex :leftChildIndex;   
                    }  
                     
             }else if(leftChildIndex<=lastIndex){  //只存在左子节点  
                     
                    if(array[leftChildIndex]>array[rootIndex]){  //左子节点更大  
                           biggerIndex = leftChildIndex;  
                    }  
             }  
              
             if(biggerIndex != rootIndex){  //找到了比根更大的子节点  
                     
                    swap(rootIndex,biggerIndex);  
                     
                    //交换位置后可能会破坏子树，将焦点转向交换了位置的子节点，调整以它为根的子树  
                    adjustHeap(biggerIndex,lastIndex);  
             }  
      }  
       
      /** 
       * 将数组按照完全二叉树的形式打印出来 
       */  
      private void printTree(int len){  
   
             int layers = (int)Math.floor(Math.log((double)len)/Math.log((double)2))+1;  //树的层数  
             int maxWidth = (int)Math.pow(2,layers)-1;  //树的最大宽度  
             int endSpacing = maxWidth;  
             int spacing;  
             int numberOfThisLayer;  
             for(int i=1;i<=layers;i++){  //从第一层开始，逐层打印  
                    endSpacing = endSpacing/2;  //每层打印之前需要打印的空格数  
                    spacing = 2*endSpacing+1;  //元素之间应该打印的空格数  
                    numberOfThisLayer = (int)Math.pow(2, i-1);  //该层要打印的元素总数  
                     
                    int j;  
                    for(j=0;j<endSpacing;j++){  
                           System.out.print("  ");  
                    }  
                     
                    int beginIndex = (int)Math.pow(2,i-1)-1;  //该层第一个元素对应的数组下标  
                    for(j=1;j<=numberOfThisLayer;j++){  
                           System.out.print(array[beginIndex++]+"");  
                           for(intk=0;k<spacing;k++){  //打印元素之间的空格  
                                  System.out.print("  ");  
                           }  
                           if(beginIndex == len){  //已打印到最后一个元素  
                                  break;  
                           }  
                    }  
                     
                    System.out.println();  
             }  
             System.out.println();   
      }

View Code

(2)测试用例

int [] a = {7,1,9,2,5,10,6,4,3,8};  
Sort sort = new Sort(a);  
  
System.out.println("未排序时：");  
sort.display();  
System.out.println();  
  
sort.heapSort();  
System.out.println("排序完成：");  
sort.display();

View Code

4、时间复杂度分析

　　堆排序的平均时间复杂度为O(nlogn),接近于最坏的时间复杂度。在最好情况下，时间复杂度为O(1).

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

文章来源链接：

http://www.cnblogs.com/luchen927/archive/2012/03/08/2381446.html

http://blog.csdn.net/u012152619/article/details/47452813