线性常系数齐次递推总结
本文为作者的一些理解，如有错误之处请指出。
概念
其实就是这样一个式子：
[a_n=alpha_1a_{n-1}+alpha_2a_{n-2}+alpha_3a_{n-3}+...+alpha_ka_{n-k}
]
因为它是线性的，没有高次的项，而且次数都相等，没有一些不是常数的奇怪函数夹在里面
所以它叫这个名字
还有它的特征方程是
[x^k=alpha_1x^{k-1}+alpha_2x^{n-2}+alpha_3x^{n-3}+...+alpha_kx^{n-k}
]
这个解出来会有很大的用途
应用
主要是考虑(k=2)的情况主要是高次我不会
那么就是
[f_n=alpha_1f_{n-1}+alpha_2f_{n-2}
]
它的一个特征方程
[x^2=alpha_1x+alpha_2
]
有三种解的情况：
1.两个实根：
有
[f_n=cx_1^n+dx_2^n
]
我们将几个知道(f_n)的(n)带进去，就可以解出来了
例如斐波那契数列：
[f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\
f_0=0,f_1=1
]
特征方程:
[x^2=x+1\
x_{1,2}=frac{1pm sqrt5}{2}
]
代入(f_0=0,f_1=1)
[egin{cases} 0=c+d\ \ \
1=c*frac{1+sqrt5}{2}+d*frac{1-sqrt5}{2}
end{cases}]
解得
[c=frac{sqrt 5}{5},d=-frac{sqrt 5}{5}
]
所以通项公式
[f_n=frac{sqrt 5}{5}left((frac{1+sqrt5}{2})^n-(frac{1-sqrt5}{2})^n
ight)
]
2.一个实根
和上面一样代
其中
[f_n=(c+dn)x^n
]
3.有一组共轭复根
有一对共轭复根(x_1=ρeiθ)和(x_2=ρe-iθ)时，
(f_n=c*ρncosnθ+d*ρnsinnθ)
其中，(c,d)是待定系数。
一些题目
以后再补，咕咕咕