【BZOJ4008】[HNOI2015]亚瑟王

题面

bzoj

洛谷

题解

由期望的线性性

可以知道，把所有牌打出的概率乘上它的伤害加起来就是答案

记第$i$张牌打出的概率为$fp[i]$

则

ans=sum_{i=0}^{n-1}d[i]*fp[i]

题目转化为求所有的$fp[i]$

如何求呢？

可以容易地知道

$$ fp[0]=1-(1-p[i])^r $$

这就是所有轮都打不出的概率

那么后面的$fp$怎么办？

发现因为有“打完牌结束该轮”的条件

不好直接算出后面的概率

这时候我们把$dp$拿出来。

设$f[i][j]$表示前$r$轮中，前$i$张卡一共出了$j$张的概率

那么假设我们知道了所有$f[i][j]$如何求$fp$?

和$fp[0]$类似，我们有

fp[i]=sum_{j=0}^{r}f[i - 1][j]×(1-(1-p[i])^{r-j})

那么怎么求出$f$呢

我们由第$i$张牌最终选没选讨论一下

有

1.f[i][j]+=f[i-1][j]*(1-p[i])^{r-j}(i>0)\ 2.f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1-(1-p[i])^{r-j+1})(i>0,j>0)

这题就差不多解决了

代码

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
using namespace std; 
const int MAX_N = 250; 
const int MAX_R = 140; 
int N, R; 
double p[MAX_N], d[MAX_N], pw[MAX_N][MAX_R]; 
double f[MAX_N][MAX_R], fp[MAX_N]; 
void Prepare() { 
	for (int i = 0; i < N; i++) { 
		pw[i][0] = 1.0; 
		for (int j = 1; j <= R; j++) pw[i][j] = (1.0 - p[i]) * pw[i][j - 1]; 
	} 
} 
void solve() { 
	memset(f, 0, sizeof(f)); 
	memset(fp, 0, sizeof(fp)); 
	f[0][0] = pw[0][R]; 
	f[0][1] = fp[0] = 1 - f[0][0]; 
	for (int i = 1; i < N; i++) { 
		for (int j = 0; j <= R; j++) { 
			f[i][j] += f[i - 1][j] * pw[i][R - j]; 
			if (j > 0) f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (1.0 - pw[i][R - j + 1]); 
		} 
	} 
	for (int i = 1; i < N; i++) 
		for (int j = 0; j <= R; j++) fp[i] += f[i - 1][j] * (1.0 - pw[i][R - j]); 
} 
int main () { 
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) { 
		scanf("%d%d", &N, &R); 
		for (int i = 0; i < N; i++) scanf("%lf%lf", &p[i], &d[i]); 
		Prepare();
		solve(); 
		double ans = 0; 
		for (int i = 0; i < N; i++) ans += d[i] * fp[i]; 
		printf("%0.10lf
", ans); 
	} 
	return 0; 
}