钞票最少张数

　很有意思的问题。以往见过许多教材，对动态规划（DP）的引入属于“奉天承运，皇帝诏曰”式：不给出一点引入，见面即拿出一大堆公式吓人；学生则死啃书本，然后突然顿悟。针对入门者的教材不应该是这样的。恰好我给入门者讲过四次DP入门，迭代出了一套比较靠谱的教学方法，所以今天跑过来献丑。

　　现在，我们试着自己来一步步“重新发明”DP。

1. 从一个生活问题谈起

　　先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w，需要用到尽量少的钞票。

　　依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。

　　这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。

　　但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错：
　　15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票）
　　15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）
　　为什么会这样呢？贪心策略错在了哪里？

　　鼠目寸光。
　　刚刚已经说过，贪心策略的纲领是：“尽量使接下来面对的w更小”。这样，贪心策略在w=15的局面时，会优先使用11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很高的，必须使用4×1。如果使用了5，w会降为10，虽然没有4那么小，但是凑出10只需要两张5元。
　　在这里我们发现，贪心是一种只考虑眼前情况的策略。

　　那么，现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢？

　　如果直接暴力枚举凑出w的方案，明显复杂度过高。太多种方法可以凑出w了，枚举它们的时间是不可承受的。我们现在来尝试找一下性质。

　　重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？”接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。

　　那么，如果我们取了11，最后的代价（用掉的钞票总数）是多少呢？
　　明显 $ext{cost} = f(4) + 1 = 4 + 1 = 5$ ，它的意义是：利用11来凑出15，付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。
　　依次类推，马上可以知道：如果我们用5来凑出15，cost就是 $f(10) + 1 = 2 + 1 = 3$ 。

　　那么，现在w=15的时候，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个！

　　- 取11： $ext{cost}=f(4)+1=4+1=5$
　　- 取5： $ext{cost}=f(10)+1=2+1=3$
　　- 取1： $ext{cost}=f(14)+1=4+1=5$

　　显而易见，cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子，做出了正确的决策！

　　这给了我们一个至关重要的启示—— $f(n)$ 只与 $f(n-1),f(n-5),f(n-11)$ 相关；更确切地说：

$f(n)=min{f(n-1),f(n-5),f(n-11)}+1$

　　这个式子是非常激动人心的。我们要求出f(n)，只需要求出几个更小的f值；既然如此，我们从小到大把所有的f(i)求出来不就好了？注意一下边界情况即可。代码如下：

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int n = 15;
        int cost = 0;
        int[] f = new int[n+1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cost = Integer.MAX_VALUE;
            if (i >= 1){
                cost = Math.min(cost,f[i-1]+1);
            }
            if (i >= 5){
                cost = Math.min(cost,f[i-5]+1);
            }
            if (i >= 11){
                cost = Math.min(cost,f[i-11]+1);
            }
            f[i] = cost;
            System.out.println("f["+i+"]"+"="+f[i]);
        }
    }
}

我们以 $O(n)$ 的复杂度解决了这个问题。现在回过头来，我们看看它的原理：

　　- $f(n)$ 只与 $f(n-1),f(n-5),f(n-11)$ 的值相关。
　　- 我们只关心 $f(w)$ 的值，不关心是怎么凑出w的。

　　这两个事实，保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略，会分别算出取1、5、11的代价，从而做出一个正确决策，这样就避免掉了“鼠目寸光”！

　　它与暴力的区别在哪里？我们的暴力枚举了“使用的硬币”，然而这属于冗余信息。我们要的是答案，根本不关心这个答案是怎么凑出来的。譬如，要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值。其他信息并不需要。我们舍弃了冗余信息。我们只记录了对解决问题有帮助的信息——f(n).

　　我们能这样干，取决于问题的性质：求出f(n)，只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”。

　　这就是DP（动态规划，dynamic programming）.

　　将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解。

原文知乎链接：https://www.zhihu.com/question/23995189