Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。


Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

#include <iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        dist[i] = c[v][i];
        s[i] = 0;     // 初始都未用过该点
        if(dist[i] == maxint)
            prev[i] = 0;
        else
            prev[i] = v;
    }
    dist[v] = 0;
    s[v] = 1;
 
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
    for(i=2; i<=n; ++i)
    {
        int tmp = maxint;
        int u = v;
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
            {
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
                tmp = dist[j];
            }
        s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中
 
        // 更新dist
        for( j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
            {
                int newdist = dist[u] + c[u][j];
                if(newdist < dist[j])
                {
                    dist[j] = newdist;
                    prev[j] = u;
                }
            }
    }
}
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
    int que[maxnum];
    int tot = 1;
    que[tot] = u;
    tot++;
    int tmp = prev[u];
    while(tmp != v)
    {
        que[tot] = tmp;
        tot++;
        tmp = prev[tmp];
    }
    que[tot] = v;
    for(int i=tot; i>=1; --i)
        if(i != 1)
            cout << que[i] << " -> ";
        else
            cout << que[i] << endl;
}
 
int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    // 各数组都从下标1开始
    int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
    int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点
    int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度
    int n, line;             // 图的结点数和路径数
 
    // 输入结点数
    cin >> n;
    // 输入路径数
    cin >> line;
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度
    // 初始化c[][]为maxint
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            c[i][j] = maxint;
    for(i=1; i<=line; ++i) 
 {
  cin >> p >> q >> len;
        if(len < c[p][q])       // 有重边
        {
            c[p][q] = len;      // p指向q
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
        }
    }
 for(i=1; i<=n; ++i)
  dist[i] = maxint;
    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            printf("%8d", c[i][j]);
        printf("\n");
    }
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
     // 最短路径长度
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
     // 路径
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
    searchPath(prev, 1, n);
 return 0;
}
/*
输入数据:
 5
 7
 1 2 10
 1 4 30
 1 5 100
 2 3 50
 3 5 10
 4 3 20
 4 5 60
 输出数据:
 999999 10 999999 30 100
 10 999999 50 999999 999999
 999999 50 999999 20 10
 30 999999 20 999999 60
 100 999999 10 60 999999
 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/

最短路

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 13799    Accepted Submission(s): 5874

Problem Description
在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？
 
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。 输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
 
Output
对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
 
Sample Input
2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0
 
Sample Output
3 2
 
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<iomanip>
using namespace std;
#define N 10000
#define MAX 100000099
int a[N][N];
int dist[N];
void input (int n,int m)
{
    int p,q,len,i,j;
    for( i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
            a[i][j]=MAX;
        dist[i]=MAX;
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>p>>q>>len;
        if(len<a[p][q])
        {
            a[p][q]=len;
            a[q][p]=len;
        }
    }
}
void dijkstra(int n)
{
    int s[N],newdist;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dist[i]=a[1][i];
        s[i]=0;
    }
    dist[1]=0;
    s[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        int j,tem=MAX;
        int u=1;
        for(j=2;j<=n;j++)
            if(!s[j]&&dist[j]<tem)
            {
                u=j;
                tem=dist[j];
            }
            s[u]=1;
            for(j=2;j<=n;j++)
            {
                if(!s[j]&&a[u][j]<MAX)
                {
                    newdist=dist[u]+a[u][j];
                    if(newdist<dist[j])
                        dist[j]=newdist;
    
                }
            }
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m),m||n)
    {
        input(n,m);
        dijkstra(n);
        cout<<dist[n]<<endl;
    }
    return 0;
}
//又捡回来了
#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int Nmax = 104;
int a[Nmax][Nmax];
bool visit[Nmax];
int prev[Nmax];
int n;
void dijkstra(int v)//不需要打印路径的dijkstra
{
    int cnt=n-1,j,mindis,minid;
    memset(visit,0,sizeof(visit)/sizeof(bool));
    for(j=1; j<=n; j++)
    {
        if(a[v][j]==INT_MAX||v==j)
            prev[j]=0; //路径打印停止的标志
        else
            prev[j]=v;
    }
    visit[v]=1;
    while(cnt--) //n-1次就可以将所有定点加入S中
    {
        //找到距离v点最近的点k
        mindis=INT_MAX;
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(!visit[j]&&a[v][j]<mindis)
            {
                mindis=a[v][j];
                minid=j;
            }
        }
        visit[minid]=1;
        //更新集合U中的点
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            //a[v][minid]+a[minid][j]<a[v][j]会溢出尼玛！！装逼失败早知道不用INT_MAX
            if(!visit[j]&&a[v][minid]<INT_MAX&&a[minid][j]<INT_MAX&&a[v][minid]+a[minid][j]<a[v][j])
            {
                a[v][j]=a[v][minid]+a[minid][j];
                prev[j]=minid;
            }
        }
    }
}
void printPath(int u)
{
    int path[Nmax];
    int tmp=u;
    while(tmp)
    {
        path[prev[tmp]]=tmp;
        tmp=prev[tmp];
    }
    while(tmp!=u)
    {
        cout<<path[tmp];
        tmp=path[tmp];
        if(tmp!=u)
            cout<<"->";
    }
    cout<<endl;
}int main()
{
    int i,j,w,m;
    while(cin>>n>>m,n||m)
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i==j)
                    a[i][j]=0;
                else
                    a[i][j]=INT_MAX;
            }
        while(m--)
        {
            cin>>i>>j>>w;
            //a[i][j]=w<a[i][j]?w:a[i][j];有向图重边考虑
            a[i][j]=a[j][i]=w<a[i][j]?w:a[i][j];//无向图重边考虑
        }
        dijkstra(1);
        cout<<a[1][n]<<endl;
        //printPath(n);
    }
    return 0;
}
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