上下界网络流学习笔记

无源汇上下界可行流

一些点,一堆边,每条边要满足流量限制([l,r])

先令每条边流量等于流量下限,得到初始流,初始流可能不满足流量守恒,再建出残量网络(上限-下限),求出可能不满足流量守恒的附加流,使附加流和初始流合并后满足流量守恒

如何建残量网络

定义(a[i])表示初始流中流入量-流出量

(a[i]>0)表示流入量大于流出量,附加量需要流入量小于流出量

(a[i]<0)表示流入量小于流出量,附加量需要流入量大于流出量

(a[i]=0)表示流入量=流出量,附加中流入量等于流出量

问题变为多余的流入量和流出量从哪来

新建虚拟结点(ss)(tt)

对于(a[i]>0),附加量流出量大于流入量,(i)(tt)连一条(a[i])的边

(a[i]<0),附加量流入量大于流出量,(ss)(i)连一条(-a[i])的边

若在残量网络上一个满流,这个流就是我们需要的附加流

最后,每条边的可行流(=)流量下界(+)附加流中这条边的流量

有源汇上下界可行流

有原点(s)和汇点(t),还有一些边,每条边有一个限制([l,r])

即使有了源和汇,也可以转换为无源汇,因为(s)的流出量(=t)的流入量,就从(t)(s)连一条下界为(0)上界为(+infty)的边,跑无源汇上下界可行流,最终的可行流就是(t)(s)的边上的流量

有源汇上下界最大流

有原点(s)和汇点(t),还有一些边,每条边有一个限制([l,r]),求出最大流

先求出可行流,再从原图残量网络中求出最大流,最大流就是可行流(+)最大流

有源汇上下界最小流

有原点(s)和汇点(t),还有一些边,每条边有一个限制([l,r]),求出最小流

先求出可行流

因为dinic中,反向边流量增加(=)正向边流量减小,所以,从(t)(s)求一边最大流,可行流大小-(t)(s)的最大流就是最小流

有源汇上下界最小费用流

建边:
对于边(u o v),费用为(w),流量为([l,r])
建成三条:
(s o v),费用为(w),流量为(l)
(u o t),费用为(0),流量为(l)
(u o v),费用为(w),流量为(r-l)
跑最小费用最大流

原文地址:https://www.cnblogs.com/heower/p/8470697.html