Loj #3093. 「BJOI2019」光线

题目描述

当一束光打到一层玻璃上时，有一定比例的光会穿过这层玻璃，一定比例的光会被反射回去，剩下的光被玻璃吸收。

设对于任意 (x)，有 (x imes a_i\%) 单位的光会穿过它，有 (x imes b_i\%) 的会被反射回去。

现在 (n) 层玻璃叠在一起，有 (1) 单位的光打到第 (1) 层玻璃上，那么有多少单位的光能穿过所有 (n) 层玻璃呢？

输入格式

第一行一个正整数 (n)，表示玻璃层数。

接下来 (n) 行，每行两个非负整数 (a_i,b_i)，表示第 (i) 层玻璃的透光率和反射率。

输出格式

输出一行一个整数，表示穿透所有玻璃的光对 (10^9 + 7) 取模的结果。

可以证明，答案一定为有理数。设答案为 (a/b)（(a) 和 (b) 是互质的正整数），你输出的答案为 (x)，你需要保证 (aequiv bx pmod {10^9 + 7})。

数据范围与提示

对于 (5\%) 的数据，保证 (n=1)。

对于 (20\%) 的数据，保证 (nle 2)。

对于 (30\%)的数据，保证 (nle 3)。

对于 (50\%) 的数据，保证 (nle 100)。

对于 (70\%) 的数据，保证 (nle 3000)。

对于 (100\%) 的数据：

- (1le nle 5 imes 10^5)

- (1le a_i le 100)

- (0le b_i le 99)

- (1le a_i+b_i le 100)

- 每组 (a_i) 和 (b_i) 在满足上述限制的整数中随机生成。

(\)

设(f_i)表示一单位光从上至下打到第(i)块玻璃之后能穿过第(n)块玻璃的单位数量。

(g_i)表示一单位光从下至上打到第(i)块玻璃之后能穿过第(n)块玻璃的单位数量。

特别地(g_0=0,f_{n+1}=1)。

于是我们容易得到：

[f_i=a_i\%f_{i+1}+b_i\%g_{i-1} (1leq ileq n)\ Rightarrow f_{i+1}=frac{f_i-b_i\%g_{i-1}}{a_i\%}\ ]

这里不需要考虑(a_i=0)的问题，因为(a_i=0)时答案为(0)，特判掉就好了。

以及：

[g_i=a_i\% *g_{i-1}+b_i\% *f_{i+1} (1leq ileq n)\ ]

我们可以设(f_1=x)，然后按照上面两个(DP)出(f_{n+1})用(x)表示时的系数。答案就是(frac{1}{f_{n+1}})。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 500005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+7;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}

int n;
ll a[N],b[N];
const ll inv100=ksm(100,mod-2);
ll f[N],g[N];

int main() {
	n=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=inv100*Get()%mod,b[i]=inv100*Get()%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i]==0) {cout<<0;return 0;}
	}
	f[1]=1;
	f[2]=ksm(a[1],mod-2);
	g[1]=b[1]*f[2]%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		f[i+1]=(f[i]-b[i]*g[i-1]%mod+mod)*ksm(a[i],mod-2)%mod;
		g[i]=(a[i]*g[i-1]+b[i]*f[i+1])%mod;
	}
	cout<<ksm(f[n+1],mod-2);
	return 0;
}