奖学金

Descrption

猪仙发现人类可以上很多大学，而猪们却没有大学可上。为了解决这个问题，于是他创立了一所大学，取名为猪仙大学。
为了选拔合适的学生入学，他发明了一种学术能力测试（简称 (CSAT) ），这种测试的分数异常精确，每头猪的成绩可以用 (1) 到 (2,000,000,000) 之间的一个整数表示。
猪仙大学的学费很贵（猪仙比较黑），很多猪都负担不起，他们需要申请一些奖学金（(1≤) 奖学金 (≤10000)）。可是政府并没有为猪准备奖学金，于是所有的预算都必须要从学校自身有限的基金中间扣除（设基金总额为 (F,0≤F≤2,000,000,000)）。
更槽的事，猪仙大学的只有 (N (1≤N≤19999)) 间教室，(N) 是一个奇数，而一共有 (C (N≤C≤100,000))头猪申请入学，为了让最多的猪接受教育，猪仙打算接受 (N) 头猪的申请，而且她还想让这些猪 (CSAT) 成绩的中位数尽可能地高。
所谓中位数，就是在一堆数字在排序后处在最中间的那个数字，比如 ({3,8,9,7,5}) 的中位数就是 (7)。
给定每头猪的 (CSAT) 成绩和打算申请的奖学金数目，以及可以资助的基金总数，确定猪仙接受哪些猪的申请才可以使成绩的中位数达到最大。

Input

第一行：三个用空格分开的整数：(N,C) 和 (F)。
第二行到 (C+1) 行：每行有两个用空格分开的整数。第一个数是这头猪的 (CSAT) 成绩，第二个数是这头猪想申请的奖学金。

Output

第一行：一个整数，表示猪仙可以得到的最大中位数，如果现有基金不够资助 (N) 头猪，则输出 (-1)。

Sample Input

Sample Output

Hint

猪仙接受 (CSAT) 分数为 (5,35,50) 的猪的申请，中位数为 (35)，需支付的奖学金总额为 (18+30+21=69≤70) 。
分析
- 数据范围高达 (10) 万，显然至少是(O(n*log(n))) 才能通过。
- 我们分析性质中位数 (a_i) 必须满足：(frac{n}{2}+1 le ile C-frac{n}{2}) 。
- 当 (i=frac{n}{2}+1) 时，我们必须选上最小分数最低的前 (frac{n}{2}) 的猪。
- 所以我们可以枚举每一个中位数，用一个维护奖金的大根堆，每枚举完一个中位数，如果当前的奖金比堆顶的小，则交换，始终保证堆的有 (frac{n}{2}) 个数，同时用一个数组 (f[i]) 维护如果选 (a_i) 为中位数，前 (frac{n}{2}) 个数的最小奖金。
- 同上，倒序维护，求出 (g[i]) 表示，如果选 (a_i) 为中位数，则后 (frac{n}{2}) 个数最小奖金。
- 显然答案为满足 (f[i]+g[i]+a[i].w<=F) 的最大的 (a[i].s) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=2e5+5;
int n,c,F;
std::priority_queue <int> q;
struct Node{
    int s,w;//分数,奖金
} a[maxn];
bool cmp(const Node &a, const Node &b){
    return a.s<b.s;
}
int f[maxn],g[maxn],sum;;
void Init(){
    scanf("%d%d%d", &n,&c,&F);
    for(int i=1;i<=c;++i)
        scanf("%d%d", &a[i].s,&a[i].w);
    std::sort(a+1,a+1+c,cmp);//按成绩升序
}
void Solve(){
    for(int i=1;i<=n/2;++i){//成绩最低的n/2进入队列
        sum+=a[i].w;//累加总奖金
        q.push(a[i].w);//队列是维护奖金的大根堆
    }
    //f[i]:表示以i为中位数前n/2人的最小奖金
    for(int i=n/2+1;i<=c;++i){
        f[i]=sum;
        int top=q.top();
        if(top>a[i].w){//如果当前的奖金小于堆顶则交换掉
            q.pop();
            sum-=top;
            sum+=a[i].w;
            q.push(a[i].w);
        }
    }

    sum=0;
    while(!q.empty()) q.pop();
    for(int i=c;i>=c-n/2+1;--i){//成绩最高的n/2进入队列
        sum+=a[i].w;
        q.push(a[i].w);
    }
    //g[i]:表示以i为中位数后n/2人的最低奖金
    for(int i=c-n/2;i>=1;--i){
        g[i]=sum;
        int top=q.top();
        if(top>a[i].w){//交换
            q.pop();
            sum-=top;
            sum+=a[i].w;
            q.push(a[i].w);
        }
    }
    //中位数的取值范围是[n/2+1,c-n/2]
    //因为要求最大中位数，所以倒序
    for(int i=c-n/2;i>=n/2+1;--i)
        if(a[i].w+f[i]+g[i]<=F){
            printf("%d", a[i].s);
            return;
        }
    printf("-1
");
}
int main(){
    Init();
    Solve();
    return 0;
}