P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

~~（开始大量盗图）~~

首先确定LCT的一些基本概念

实边：每个点最多连一条实边（类似树剖），这个边是随便连的，而且是可以变的、虚边：不是实边的边
实链：对于每个实边构成的链（这条链必须是从上到下深度递增），开一个splay，存的是树上的节点，按深度排序（中序遍历为深度递增），平衡树上维护的信息就是这一条链的信息

对于每个节点，(fa[x])表示父亲（实链则表示splay上的父亲，否则表示虚链上的父亲），(son[x][0/1])表示splay上的左右儿子，不记录虚链的儿子

这样判断是否为当前这个splay的根的方法就变为

inline bool is_root(int x){return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;}

这一棵树

按splay划分就是

因为有翻转操作（之后会提到哪里会用），所以需要用到文艺平衡树

int son[N][2],val[N],sum[N],tag[N],fa[N];
inline void update(int x){sum[x]=sum[son[x][0]]^sum[son[x][1]]^val[x];}
inline void rev(int x){swap(son[x][1],son[x][0]);tag[x]^=1;}
inline void pushdown(int x){
	if(!tag[x])return;tag[x]=0;
	if(son[x][0])rev(son[x][0]);
	if(son[x][1])rev(son[x][1]);
}
inline int id(int x){return x==son[fa[x]][1];}
inline void rotate(int x){
	int f=fa[x],gf=fa[f],idf=id(f),idx=id(x);
	if(!is_root(f))son[gf][idf]=x;fa[x]=gf;
	son[f][idx]=son[x][idx^1];son[x][idx^1]=f;
	if(son[f][idx])fa[son[f][idx]]=f;fa[f]=x;
	update(f);update(x);
}
int stac[N],top;
inline void splay(int x){
	top=0;int cur=x;stac[++top]=x;
	while(!is_root(cur))cur=fa[cur],stac[++top]=cur;
	while(top)pushdown(stac[top--]);//从上到下下放标记
	while(!is_root(x)){
		if(!is_root(fa[x])){
			if(id(fa[x])==id(x))rotate(fa[x]);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}

(access(x))

LCT基本操作，让(x)到根的路径上为一条实链

目标：

依次完成：

把自己变为根，断掉原来的儿子，向上

把自己变为根，替换掉原来的儿子，向上

直到合并到根为止

inline void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),son[x][1]=y,update(x);
}

其余操作都在(splay)和(access)基础上

(make\_root(x))

让(x)成为根

先打通(x)到根的路径，然后让(x)成为当前(splay)的根

但是这时的(splay)是按深度递增的，没有变，要变成按深度递减，那么就需要把这棵树翻转一下

inline void make_root(int x){
	access(x);	splay(x);	rev(x);
}

(find\_root(x))

找到(x)所在树的根

先打通(x)到根的路径，找到这个splay的深度最低的点即可（注意(pushdown)）

inline int find_root(int x){
	access(x);	splay(x);	pushdown(x);
	while(son[x][0])x=son[x][0],pushdown(x);
	splay(x);
	return x;
}

(link(x,y))

先让(x)成为根，判断一下(y)的根是不是(x)

是的话就已经在一棵树内，不用连边

否则连一条虚边

inline void link(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)==x)return ;
	fa[x]=y;
}

(cut(x,y))

同样的先把(x)作为根，判断一下(y)在不在(x)的子树内

注意这里调用了(find\_root(y))，若(y)在(x)的子树内，那么(x)到(y)的链已经打通，(x,y)在同一颗(splay)内，且这棵(splay)的根为(x)

那么如果(y)与(x)有连边，那么(y)的深度等于(dep[x]+1)，又因为splay维护一条链的信息，这个(dep[x]+1=dep[y])的点事唯一的，即(y)一定是(x)的右儿子，且(y)没有左儿子（不存在在(x,y)之间的点）

inline void cut(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)!=x||fa[y]!=x||son[y][0])return;
	fa[y]=son[x][1]=0;update(x);
	return ;
}

(query(x,y))

以(x)为根，连上(x,y)的边，以(x/y)为splay的根

这样跟的信息就是整条链的信息

inline int query(int x,int y){
	make_root(x);access(y);splay(y);
	return sum[y];
}

(modify(x,val))

修改信息

即把(x)作为其所在(splay)的根，然后跟新自己的(val)，最后(update)即可

inline void modify(int x,int v){
	splay(x);val[x]=v;update(x);
}