noip复习——快速幂

(a ^ n mod p)

(a, p, n leq 10^9)

最普通的二进制拆分

#define LL long long
LL qpow(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 1;
    for (; n; n >>= 1, a = a * a % p)
        if (n & 1)
            ans = ans * a % p;
    return ans % p;
}

(a, p, n leq 10^{14})

底数变大了，直接做(a * a)会爆longlong，需要用类似快速幂的方法做乘法

#define LL long long
LL mul(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 0;
    for (; n; n >>= 1, a = (a << 1) % p)
        if (n & 1)
            ans = (ans + a) % p;
    return ans % p;
}
LL qpow(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 1;
    for (; n; n >>= 1, a = mul(a, a, p))
        if (n & 1)
            ans = mul(ans, a, p) % p;
    return ans % p;
}

(a, p leq 10^{14}, n leq 10 ^ {100}) ((a perp p))

初看数据范围，出题人在搞事情。其实只是用了一个欧拉定理的结论：

[a^n equiv a^{n mod varphi(p)} pmod p (a perp p) ]

(O(sqrt{p}))算(varphi(p))，n先读字符串然后按快读的方式处理即可。

(a, p leq 10^{14}, n leq 10 ^ {100})

(a, p)互质的条件去掉了怎么办？当(n leq varphi(p))时可以直接算，否则用到以下结论：