求解圆圈中最后剩下的数字

一，问题描述

将 0，1，2....n-1 一共n个数字排成一个圆圈。从数字0开始每次从这个圆圈里面删除第m个数字( 1=<m<=n，比如第1个数字为0)。求出这个圆圈里面最后剩下的那个数字。

二，问题分析

使用java.util.LinkedList类保存这N个数字，并调用 remove(int index)方法来执行删除链表中指定位置的元素。

问题的关键是：如何找到链表中每次待删除的元素的位置。一共有下面三种方法：

第一种方式是对链表进行遍历，第二种方式是模拟链表的遍历（但是不对链表进行真正的遍历），第三种方式是：直接用公式（这其实是一个约瑟夫环问题，有现成的公式来求解）。

本文记录第二种方法的实现。

三，代码分析

 1     public int lastNumber(int[] arr, int m){
 2         if(arr == null || arr.length == 0 || m <= 0 || m > arr.length)
 3             throw new IllegalArgumentException();// illegal arguments
 4         
 5         LinkedList<Integer> cirList = new LinkedList<>(); 6         //init
 7         for (int ele : arr) {
 8             cirList.add(ele);
 9         }
10         
11         int nextPosition = m - 1;
12         while(cirList.size() > 1)
13         {
14             cirList.remove(nextPosition);
15             nextPosition = nextIndex(cirList, nextPosition, m);
16         }
17         return cirList.get(0);
18     }

1）第2-3行，检测参数是否合法。第7-8行进行初始化：即将所有的元素添加到链表中，这表明程序的空间复杂度为O(N)

2）第11行表示当前待删除的元素在链表中的位置。初始时为m-1，表示删除链表中的第 m 个元素。(因为链表下标是从0开始的嘛)

3）12行while循环，当链表中的元素个数还是大于1时，表示：还要继续删除。第14行删除第m个元素，第15行获取下一个待删除的元素(从题意上理解:还是环中的“第m个”元素)

那问题的关键是：如何获取下一个元素？当删除了一个元素后，链表的长度是变了的（减少了1），而且始终要将链表视为一个”环“，这样第 m 个元素才有意义（尤其是 m 大于当前链表中的元素个数的时候）。

 1 private int nextIndex(LinkedList<Integer> cirList, int currentPosition, int m){
 2         int next = -1;//下一个待删除的元素索引
 3         if(currentPosition >= cirList.size())//当已删除的结点刚好是链表中的最后一个结点
 4             currentPosition = 0;
 5         int len = cirList.size();
 6         int last = len - currentPosition;//链表中后面还可以移动的节点个数
 7         if(last < m)//链表中后面还可以移动的节点个数 小于 m 时，需要返回到表头去
 8         {
 9             int remain = m - last;
10             //再从表头移动 remain个元素
11             
12             //如果需要跳过的元素个数 大于 链表中已有的元素个数
13             while(remain > len){
14                 remain = remain - len;
15             }
16             next = remain - 1;//substract 1 because index start from zero
17         }else{
18             next = currentPosition + m - 1;
19         }
20         return next;
21     }

实现“获取下一个待删除的元素索引” 的总体思路是：根据上一次删除链表中的元素的索引，求出从该索引到链表的表尾有多少个元素？这是第6行代码的功能。

然后第7行if语句判断，后面还可以移动的元素个数是否小于m，若小于m，说明还需要再返回到表头去，再跳过若干个元素才是环中的第m个元素。

当然，求解下一个待删除的元素可能有一些细节问题：比如第 13-14行，它描述的情景是：m很大，经过若干次删除之后，当前链表中的元素很少的情况。

四，完整代码实现---(只测试了部分测试用例，不保证完全正确)

import java.util.LinkedList;

public class LastNumberInCircle {
    
    public int lastNumber(int[] arr, int m){
        if(arr == null || arr.length == 0 || m <= 0 || m > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException();// illegal arguments
        
        LinkedList<Integer> cirList = new LinkedList<>();//模拟一个环形链表
        //init
        for (int ele : arr) {
            cirList.add(ele);
        }
        
        int nextPosition = m - 1;
        while(cirList.size() > 1)
        {
            cirList.remove(nextPosition);
            nextPosition = nextIndex(cirList, nextPosition, m);
        }
        return cirList.get(0);
    }
    
    private int nextIndex(LinkedList<Integer> cirList, int currentPosition, int m){
        int next = -1;//下一个待删除的元素索引
        if(currentPosition >= cirList.size())//当已删除的结点刚好是链表中的最后一个结点
            currentPosition = 0;
        int len = cirList.size();
        int last = len - currentPosition;//链表中后面还可以移动的节点个数
        if(last < m)//链表中后面还可以移动的节点个数 小于 m 时，需要返回到表头去
        {
            int remain = m - last;
            //再从表头移动 remain个元素
            
            //如果需要跳过的元素个数 大于 链表中已有的元素个数
            while(remain > len){
                remain = remain - len;
            }
            next = remain - 1;//substract 1 because index start from zero
        }else{
            next = currentPosition + m - 1;
        }
        return next;
    }
    
    //hapjin test
    public static void main(String[] args) {
        LastNumberInCircle obj = new LastNumberInCircle();
        int len = 5;
        int m = 3;
        int[] arr = new int[len];
        for(int i = 0; i < len; i++)//init
            arr[i] = i;
        assert len >= m;
        int last = obj.lastNumber(arr, m);
        System.out.println(last);
    }
}