一，问题描述
假设有 m 种面值不同的硬币，存储在 coinsValues数组中，现需要使用这些硬币来找钱，各种硬币的使用个数不限。 求对于给定的钱数N，我们最多有几种不同的找钱方式。硬币的顺序并不重要。
二，动态规划分析
为了更好的分析，先对该问题进行具体的定义：将用来找零的硬币的面值存储在一个数组中。如下：
coinsValues[i] 表示第 i 枚硬币的面值。比如，
第 i 枚硬币 面值
1 1
2 3
3 4
待找零的钱数为 n （上面示例中 n=6）
为了使问题总有解，一般第1枚硬币的面值为1
设 c[i,j]表示 使用 第 1,2,...i 种面值的硬币时，需要找金额为 j 的钱，最多可采用多少种不同的方式？
i 表示可用的硬币种类数， j 表示 需要找回的零钱
①最优子结构
对于某种面值的硬币，要么使用了（可能使用多次）它，要么不使用它。故：
c[i,j]=c[i-1,j] + c[i,j-coinsValue[i]]
c[i-1,j] 表示不使用第 i 枚硬币， c[i, j-coinsValue[i]] 表示至少使用了一次 第 i 枚硬币。c[i, j-coinsValue[i]] 表示，第 i 枚硬币还可以继续使用。因为第一个参数还是 i
从这里可以看出：用到了《组合数学》中的加法原理。
如何确定初始（基准）条件？一个重要的方法就是画一个简单的实例图。（借用网上一张图:）
C({1,2,3},j) --> recursiveChargeTypes
C({1,2,3}, 5)
/
/
C({1,2,3}, 2) C({1,2}, 5)
/ /
/ /
C({1,2,3}, -1) C({1,2}, 2) C({1,2}, 3) C({1}, 5)
/ / /
/ / /
C({1,2},0) C({1},2) C({1,2},1) C({1},3) C({1}, 4) C({}, 5)
/ / / /
/ / / /
. . . . . . C({1}, 3) C({}, 4)
/
/
. .
比如，按照红色那条路走，就知道 5 使用了硬币面值3 和 2，故成功找零，此时 j=0了，这是一种找零方式 ==》 当j==0时，返回1
三，代码实现
public class DPCoinCharge { public static int chargeTypes(int[] coinsValues, int n){ int m = coinsValues.length; int[][] c = new int[m+1][n+1]; //基准条件,可参考下面的递归代码 for(int i = 0; i <=m; i++) c[i][0] = 1; for(int i = 1; i <=n; i++) c[0][i] = 0; for(int i = 1; i <=m; i++) { for(int j = 1; j <=n; j++) { if(j < coinsValues[i-1])//第 i 枚硬币 不可用. (需要找 5块钱,但是现在只有一张百元大钞) { c[i][j] = c[i-1][j]; continue; } //在第 i 枚硬币可用的情况下, 不使用 第 i 枚硬币 或者第 i 枚硬币至少使用一次---状态方程 c[i][j] = c[i-1][j] + c[i][j - coinsValues[i-1]];//coinsValues下标从0开始 } } return c[m][n]; } //递归实现 public static int recursiveChargeTypes(int[] coinsValues, int m, int n) { //基准条件 可以 通过画一个简单的实例 分析来得出. 比如 recursiveChargeTypes({1,3,4}, 3, 5) if(n == 0) return 1; if(n < 0) return 0; if(m <= 0) return 0; else return recursiveChargeTypes(coinsValues, m-1, n) + recursiveChargeTypes(coinsValues, m, n-coinsValues[m]); } public static void main(String[] args) { int[] coinsValues = {1,2,3}; int n = 5; int maxTypes = chargeTypes(coinsValues, n); System.out.println(maxTypes); } }
四，参考资料
http://www.acmerblog.com/dp6-coin-change-4973.html