洛谷P4015 运输问题

数学一本通例题。

题面描述

$W$ 公司有 $m$ 个仓库和 $n$ 个零售商店。第 $i$ 个仓库有 $a_i$ 个单位的货物；第 $j$ 个零售商店需要 $b_j$ 个单位的货物。

货物供需平衡，即 $sumlimits_{i=1}^{m}a_i=sumlimits_{j=1}^{n}b_j∑mai=j=1∑nbj$ 从第 $i$ 个仓库运送每单位货物到第 $j$ 个零售商店的费用为 $c_{ij}$ 。

试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案，使总运输费用最少 $/$ 最多。

一本通上给出了建模。如下。

求解方程 $min{z}=min{sum limit_{i=1}^{n} sumlimit_{j=1}^{m}C{_i_j}*X{_i_j}}}$ ，并满足下面两个约束条件。

1. $sum limit_{_j=1}^n {X_i_j} = a_i, sum limit _{_i=1}^m X_i_j = b_j , X_i_jgeq 0$

2. $sum limit_{_i=1}^m sum limit_{_j=1}^n X_i_j = sum limit_{_i=1}^m a_i = sum limit_{j=1}^n b_j$

其实是一个线性规划的模型。</del>我不会做</del>

题解里提供的是网络流做法，感觉挺好理解的，放下面了。

建模：货物流通其实就是流量流动，费用直接用就好了。我们建立源点，汇点。源点连接供应点，流量为货物储量，费用为0。销点连接汇点，同理。供应点和汇点之间连接流量为 $inf$ ，费用为 $c_i_j$ 。直接跑最大费用最小流就可以了。求最大费用的话，我们将 $c_i_j$ 取负，最后答案也取负就好了。感觉这个建模很直接了。

拓展：供销不平衡。

这个是看的某个ppt的，可能有问题，如果有问题请大佬们及时提出。

如果供>销那么我们新建一个销点，销量为总共量-总销量，运费为0。

销>供同理。

我觉得是挺靠谱的。但没找到合适的题所以正确性还是没有试验过[捂脸]