洛谷 P2512 [HAOI2008]糖果传递题解

每日一题 day47 打卡

Analysis

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

…… 对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

By ysner

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #define int long long
 6 #define maxn 1000000+10
 7 #define rep(i,s,e) for(register int i=s;i<=e;++i)
 8 #define dwn(i,s,e) for(register int i=s;i>=e;--i)
 9 using namespace std;
10 inline int read()
11 {
12     int x=0,f=1;
13     char c=getchar();
14     while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
15     while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
16     return f*x;
17 }
18 inline void write(int x)
19 {
20     if(x<0) {putchar('-'); x=-x;}
21     if(x>9) write(x/10);
22     putchar(x%10+'0');
23 }
24 int n,ave,mid,ans;
25 int a[maxn],b[maxn];
26 signed main()
27 {
28     n=read();
29     rep(i,1,n) {a[i]=read(); ave+=a[i];}
30     ave/=n;
31     rep(i,1,n) b[i]=b[i-1]+ave-a[i];
32     sort(b+1,b+n+1);
33     mid=b[n/2+1];
34     rep(i,1,n) ans+=abs(b[i]-mid);
35     write(ans);
36     return 0;
37 }

请各位大佬斧正~~（反正我不认识斧正是什么意思）~~

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