P4159 [SCOI2009]迷路

题目描述

windy在有向图中迷路了。该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数，N T。接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

输出格式：

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2
11
00

输出样例#1：

输入样例#2：

输出样例#2：

说明

【样例解释一】

0->0->1

【数据范围】

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。

100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

思路

一道有难度的矩阵乘法的题

时间长短和路径条数多少之间很显然有点矛盾，我们只能处理每一条路的同学时间都为1的，这样也可以说明从第i个点到第j个点之间的路径条数为1

设$a_{x}[i][j]$表示x分钟从第i个点到第j个点的路径条数

根据Floyd，我们知道$a_{x}[i][j]=sumlimits_{k=1}^{n} a_{x-1}[i][k]*a_{x-1}[k][j] % mod$

结果就是$a_{t}[1][n]$

这样我们顺利的解决了（0/1）图

由于时间最大为9，所以我们完全可以把一个点拆成9个点，然后每两个点之间的边权为0或1

然后我们就$成功$的做完了这道题

CODE:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int t,n,a[101][101],ans[101][101],zlk[101][101],sum,mod=2009;
void ksm(){
    while(t){
        if(t&1){
            memset(zlk,0,sizeof(zlk));
            rep(i,1,9*n) rep(j,1,9*n) rep(k,1,9*n) zlk[i][j]+=ans[i][k]*a[k][j],zlk[i][j]%=mod;
            rep(i,1,9*n) rep(j,1,9*n) ans[i][j]=zlk[i][j];
        }
        memset(zlk,0,sizeof(zlk));
        rep(i,1,9*n) rep(j,1,9*n) rep(k,1,9*n) zlk[i][j]+=a[i][k]*a[k][j],zlk[i][j]%=mod;
        rep(i,1,9*n) rep(j,1,9*n) a[i][j]=zlk[i][j];
        t>>=1;
    }
} 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&t);
    rep(i,1,n){
        char ch=getchar();
        while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
        rep(j,1,n){ 
            int z=ch-'0';ch=getchar();
            if(!z) continue;
            rep(k,1,z-1) a[(i-1)*9+k][(i-1)*9+k+1]=1;
            a[(i-1)*9+z][(j-1)*9+1]=1;
        }
    }
    rep(i,1,n*9) ans[i][i]=1;
    ksm();
    printf("%d",ans[1][n*9-8]);
    return 0;
}