数据结构与算法系列——排序(7)_堆排序

1. 工作原理（定义）

　　堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序可以说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：

大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于升序排列；arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于降序排列；arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

　　同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

　　该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

2. 算法步骤

创建一个最大堆 H[0……n-1]；
把堆首（最大值）和堆尾互换；
把堆的尺寸缩小 1，并调用 shift_down(0)，目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置；
重复步骤 2，直到堆的尺寸为 1。

　　创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆【注意从非叶子节点开始】。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。

　　堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质【因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。】。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕。整个流程如下：

3. 动画演示

4. 性能分析

1. 时间复杂度

　　堆排序的时间等于建堆和进行堆调整的时间。

　　构建最大堆大概需进行n/2 * 2 = n次比较和n/2次交换，故时间复杂度为O(n)。

　　堆调整的时间为(n - 1)*O(log2(n))。

　　堆排序的时间复杂度为O(n*logn)。

　　在最优、最坏和平均情况下，其时间复杂度为 O(n*logn)。

2. 空间复杂度

　　堆排序为就地排序，因此空间复杂度为O(1)。

3. 算法稳定性

　　堆排序是不稳定的算法，在构建堆过程中元素的顺序可能会发生变化。

4. 初始顺序状态

比较次数：
移动次数：
复杂度：
排序趟数：

5. 归位

　　能归位，每一趟排序有一个元素归位。

6. 优点

6. 具体代码

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int [] array = new int[]{2,3,5,6,7,8,23,1,9};
        array = heapSort(array);
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i]+" ");
        }
    }
    // 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
    public static int[] heapSort(int[] sourceArray) {
        // 对 arr 进行拷贝，不改变参数内容
        int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length);
        int len = arr.length;
        // 建立最大堆
        buildMaxHeap(arr, len);
        // 首尾元素交换，长度减一，尾部元素最大
        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
            swap(arr, 0, i);
            len--;
            heapify(arr, 0, len);
        }
        return arr;
    }

    /**
     *  创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，
     *  Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆【注意从非叶子节点开始】。
     *  因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。
     */
    private static void buildMaxHeap(int[] arr, int len) {
        // 非叶子节点开始
        for (int i = (int) Math.floor(len / 2); i >= 0; i--) {
            heapify(arr, i, len);
        }
    }
     
    // 最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
    private static void heapify(int[] arr, int i, int len) {
        int left = 2 * i + 1;
        int right = 2 * i + 2;
        int largest = i;

        if (left < len && arr[left] > arr[largest]) {
            largest = left;
        }
        if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }
        if (largest != i) {//保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质
            swap(arr, i, largest);
            heapify(arr, largest, len);
        }
    }

    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
}