整数拆分问题

整数拆分问题_C++

一、问题背景

　整数拆分，指把一个整数分解成若干个整数的和

　　如 3=2+1=1+1+1 共2种拆分

　　我们认为2+1与1+2为同一种拆分

二、定义

　　在整数n的拆分中，最大的拆分数为m，我们记它的方案数为 f(n,m)

　　即 n=x₁+x₂+······+x_k-1+x_k ，任意 x≤m

　　在此我们采用递归递推法

三、递推关系

　　1、n=1或m=1时

　　　　拆分方案仅为 n=1 或 n=1+1+1+······

　　　　　f(n,m)=1

　　2、n=m时

　　　　　S₁选取m时，f(n,m)=1，即n=m

　　　　　S₂不选取m时，f(n,m)=f(n,m-1)=f(n,n-1)，此时讨论最大拆分数为m-1时的情况

　　　　　可归纳 f(n,m)=f(n,n-1)+1

　　3、n<m时

　　　　　因为不能选取m，所以可将m看作n，进行n=m时的方案，f(n,m)=f(n,n)

　　4、n>m时

　　　　　S₁选取m时，f(n,m)=f(n-m,m)，被拆分数因选取了m则变为n-m，且n-m中可能还能选取最大为m的数

　　　　　S₂不选取m时，f(n,m)=f(n,m-1)，此时讨论最大拆分数为m-1时的情况

　　　　　可归纳 f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)

总递推式为

代码如下

 1 #include <algorithm>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 using namespace std;
 8 
 9 int f(int n,int m)
10 {
11     if ((n!=1)&&(m!=1))
12         {
13             if (n>m) return f(n-m,m)+f(n,m-1);
14             else return 1+f(n,n-1);
15         }
16     else return 1;
17 }
18 void work()
19 {
20     int n,m;
21     cin>>n>>m;
22     cout<<f(n,m);
23 }
24 int main()
25 {
26     freopen("cut.in","r",stdin);
27     freopen("cut.out","w",stdout);
28     work();
29     return 0;
30 }

此外还有母函数法，具体参考

http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3503956.html

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