快速幂取模_C++

一、题目背景

　　已知底数a，指数b，取模值mo

　　求ans = a^b% mo

二、朴素算法（已知可跳过）

　　ans = 1，循环从 i 到 b ，每次将 ans = ans * a % mo

　　时间复杂度O(b)　　

 1 void power(int a,int b,int mo)
 2 {
 3     int i;
 4     ans=1;
 5     for (i=1;i<=b;i++)
 6     {
 7         ans*=a;
 8         ans%=mo;
 9     }
10 }

三、快速幂

　先讨论无需取模的

　　当b为偶数时：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

　　当b为奇数时：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

　　如 2⁸=（2²）⁴2⁷=2*(2²)³

　　所以，我们可以如此迭代下去

　　2¹⁰=(2²)⁵=(2²)*[(2²)²]²

　　 ① ② ③

　　指数为10 是一个偶数，则底数2平方，指数变为一半 [ ①→② ]

　　指数为5 是一个奇数，则先将底数提出作为系数（2²），此时指数为4 是一个偶数，则底数2²再平方，指数再变为一半 [ ②→③ ]

　　归纳总结得到：

　　当指数大于1时，若为偶数则将指数除以2，底数平方

若为奇数则先提出一个为底数的系数（可直接把该系数乘进ans中），所以指数减1，然后再按照偶数的办法做

　　不断迭代下去，当指数为1时，则直接得出答案

　　最后只要将每次相乘时取模即可，时间复杂度O(log₂b)

 1 inline int mi(int a,int b)
 2 {
 3     int ans=1;
 4     a%=mo;
 5     while (b)
 6     {
 7         if (b&1) ans=ans*a%mo;
 8         b>>=1;
 9         a=a*a%mo;
10     }
11     return ans;
12 }

　　（代码更新时间2016年11月7日17:20:54）

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