最大流
Dinic
建图时必须要建一条流量为0的反向边：建立反向边是为了增加重新调整的机会，即保障解是最优的。
应用场景：
1、裸的最大流
2、二分图的最大匹配：建一个点S，连到二分图的集合A中；建一个点T，连到二分图的集合B中。再将所有的集合A中的点与 集合B中的点相连。全部边权设为1，跑一遍最大流，结果即为二分图的最大匹配。
3、最小割：图中所有的割中，边权值和最小的割为最小割。 在单源单汇流量图中，最大流等于最小割。
4、求最大权闭合图（这里）：权值=正点权之和-最小割
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MOD 998244353
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn= 200 + 5; //点
const int maxm= 2000 + 5; //边
int n,m,cnt=0;
int head[maxn];
int dis[maxn];
struct node{
int e,v,nxt;
}edge[maxm<<1];
inline void addl(int u,int v,int w)
{
edge[cnt].e=v;
edge[cnt].v=w;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt++;
}
bool bfs()
{
mem(dis,-1);
dis[1]=0;
queue<int>q;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int r=q.front();
q.pop();
for(int i=head[r];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int j=edge[i].e;
if(dis[j]==-1&&edge[i].v)
{
dis[j]=dis[r]+1;
q.push(j);
}
}
}
return dis[n]!=-1;
}
int dfs(int u,int flo)
{
if(u==n)return flo;
int detla=flo;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].e;
if(dis[v]==(dis[u]+1)&&edge[i].v>0)
{
int d=dfs(v,min(detla,edge[i].v));
edge[i].v-=d;
edge[i^1].v+=d;
detla-=d;
if(detla==0)break;
}
}
return flo-detla;
}
int Dinic()
{
int ans=0;
while(bfs())
{
ans+=dfs(1,INF);
}
return ans;
}
int main()
{
while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
mem(head,-1);
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
addl(a,b,c);
addl(b,a,0); //*
}
printf("%d
",Dinic());
}
return 0;
}最小费用最大流
spfa
反边的流量是0，花费是相反数。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MOD 998244353
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn = 100010;
bool vis[maxn];
int n,m,s,t;
int dis[maxn],pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],maxflow,mincost;
struct node{
int to,nxt,flow,dis; //flow流量 dis花费
}edge[maxn];
int head[maxn],cnt=0;
void addl(int u,int v,int flow,int dis)
{
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].flow=flow;
edge[cnt].dis=dis;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt++;
}
bool spfa(int s,int t)
{
mem(dis,INF);
mem(flow,INF);
mem(vis,0);
queue<int>q;
q.push(s);
vis[s]=1;
dis[s]=0;
pre[t]=-1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
vis[now]=0;
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
if(edge[i].flow>0&&dis[edge[i].to]>dis[now]+edge[i].dis)
{
dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].dis;
pre[edge[i].to]=now;
last[edge[i].to]=i;
flow[edge[i].to]=min(flow[now],edge[i].flow);
if(!vis[edge[i].to])
{
vis[edge[i].to]=1;
q.push(edge[i].to);
}
}
}
}
return pre[t]!=-1;
}
void MCMF()
{
while(spfa(s,t))
{
int now=t;
maxflow+=flow[t];
mincost+=flow[t]*dis[t];
while(now!=s)
{
edge[last[now]].flow-=flow[t];
edge[last[now]^1].flow+=flow[t];
now=pre[now];
}
}
}
int main()
{
mem(head,-1);
mem(pre,-1);
cnt=0;
maxflow=0;
mincost=0;
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b,c,d;
scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
addl(a,b,c,d);
addl(b,a,0,-d); //反边的流量是0，花费是相反数
}
MCMF();
printf("%d %d",maxflow,mincost);
return 0;
}例题
1、Going Home POJ - 2195
题目大意：一幅图上有若干个人和房子，房子和人的数量相等，每个格子的距离是1，问你所有人回到任意一个房子且没有相同房子时，最少的花费是多少。
解题思路：建立一个源点与每个人相连，花费为0，流量为1，把每个人和每个房子都连接，边的权值（花费）就是距离，流量设为1，建立一个汇点，把每个房子与汇点连接，花费为0，流量为1，跑一遍最小花费最大流即可。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define MOD 998244353
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn = 100010;
bool vis[maxn];
int n,m,s,t;
int dis[maxn],pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],maxflow,mincost;
struct node{
int to,nxt,flow,dis; //flow流量 dis花费
}edge[maxn];
int head[maxn],cnt=0;
void addl(int u,int v,int flow,int dis)
{
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].flow=flow;
edge[cnt].dis=dis;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt++;
}
bool spfa(int s,int t)
{
mem(dis,INF);
mem(flow,INF);
mem(vis,0);
queue<int>q;
q.push(s);
vis[s]=1;
dis[s]=0;
pre[t]=-1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
vis[now]=0;
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
if(edge[i].flow>0&&dis[edge[i].to]>dis[now]+edge[i].dis)
{
dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].dis;
pre[edge[i].to]=now;
last[edge[i].to]=i;
flow[edge[i].to]=min(flow[now],edge[i].flow);
if(!vis[edge[i].to])
{
vis[edge[i].to]=1;
q.push(edge[i].to);
}
}
}
}
return pre[t]!=-1;
}
void MCMF()
{
while(spfa(s,t))
{
int now=t;
maxflow+=flow[t];
mincost+=flow[t]*dis[t];
while(now!=s)
{
edge[last[now]].flow-=flow[t];
edge[last[now]^1].flow+=flow[t];
now=pre[now];
}
}
}
struct man1{
int x,y;
}man[105];
struct home1{
int x,y;
}home[105];
int main()
{
int cc,kk;
while(~scanf("%d %d",&cc,&kk)){
getchar();
mem(head,-1);
mem(pre,-1);
if(cc==0)break;
cnt=0;
maxflow=0;
mincost=0;
int num1=0,num2=0;
char c;
for(int i=1;i<=cc;i++){
for(int j=1;j<=kk;j++){
scanf("%c",&c);
if(c=='m'){
man[++num1].x=i;
man[num1].y=j;
}else if(c=='H'){
home[++num2].x=i;
home[num2].y=j;
}
}
getchar();
}
int p=num1;
s=0;
t=2*p+1;
for(int i=1;i<=p;i++){
addl(0,i,1,0);
addl(i,0,0,0);
addl(p+i,2*p+1,1,0);
addl(2*p+1,p+i,0,0);
for(int j=1;j<=p;j++){
int d=abs(man[i].x-home[j].x)+abs(man[i].y-home[j].y);
//cout<<i<<" "<<j+p<<" "<<d<<endl;
addl(i,j+p,1,d);
addl(j+p,i,0,-d);
}
}
MCMF();
cout<<mincost<<endl;
}
return 0;
}2、Dining POJ - 3281
题目大意：有N头牛 ，F种食物，D种饮料，给你每头牛喜欢的食物和饮料，问你最多可以满足几头牛的需要。
解题思路：难点即建图。建图时需要把牛拆开，把一头牛分为牛左 和 牛右，首先建立一个源点，从原点引出向食物的有向边，流量为1，在从食物引出向牛左的有向边，也就是与喜欢这种食物的牛相连，流量为1，然后再从牛左引出向牛右的有向边，流量为1，再从牛右引出向饮料的有向边，流量为1，最后将饮料引入汇点即可，最后跑一边最大流即可。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define ll long long
#define MOD 998244353
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn= 2000 + 5; //点
const int maxm= 2000 + 5; //边
int n,m,cnt=0;
int head[maxn];
int dis[maxn];
struct node{
int e,v,nxt;
}edge[maxm<<1];
inline void addl(int u,int v,int w)
{
edge[cnt].e=v;
edge[cnt].v=w;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt++;
}
bool bfs()
{
mem(dis,-1);
dis[0]=0;
queue<int>q;
q.push(0);
while(!q.empty()){
int r=q.front();
q.pop();
for(int i=head[r];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int j=edge[i].e;
if(dis[j]==-1&&edge[i].v)
{
dis[j]=dis[r]+1;
q.push(j);
}
}
}
return dis[n]!=-1;
}
int dfs(int u,int flo)
{
if(u==n)return flo;
int detla=flo;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].e;
if(dis[v]==(dis[u]+1)&&edge[i].v>0)
{
int d=dfs(v,min(detla,edge[i].v));
edge[i].v-=d;
edge[i^1].v+=d;
detla-=d;
if(detla==0)break;
}
}
return flo-detla;
}
int Dinic()
{
int ans=0;
while(bfs())
{
ans+=dfs(0,INF);
}
return ans;
}
int main()
{
mem(head,-1);
cnt=0;
n=500;
int N,F,D;
scanf("%d %d %d",&N,&F,&D);
for(int i=1;i<=F;i++){
addl(0,i+200,1);
addl(i+200,0,0);
}
for(int i=1;i<=D;i++){
addl(i+300,500,1);
addl(500,i+300,0);
}
for(int i=1;i<=N;i++){
int a,b,c;
scanf("%d %d",&a,&b);
for(int j=1;j<=a;j++){
scanf("%d",&c);
addl(c+200,i,1);
addl(i,c+200,0);
}
addl(i,i+100,1);
addl(i+100,i,0);
for(int j=1;j<=b;j++){
scanf("%d",&c);
addl(i+100,c+300,1);
addl(c+300,i+100,0);
}
}
int num=Dinic();
cout<<num<<endl;
return 0;
}