标签：指数型生成函数，多项式求逆
感觉这个生成函数还是蛮有难度的.
每一层的指数型数的生成函数 $F(x)=sum_{i=1}^{infty} frac{1}{i!}x^i$
那么所有层的生成函数就是 $G(x)=sum_{i=1}^{infty} F^i(x)$
我们注意到因为这道题划分规则比较奇特，所以我们在 $G(x)$ 的生成函数那里不用除阶乘.
$Rightarrow sum_{i=1}^{infty} F^i(x)=sum_{i=0}^{infty} F^i(x)-F^0(x)=frac{1}{1-F(x)}-1$
所以这个分母直接这么求就好了，分子同理.
但是呢，我们发现一个严重的问题：指数型生成函数中那个 $n$ 次项系数还需要乘上一个阶乘.
我们可以证明分子和分母没有出现 $n! imes a_{n}+b_{n}$ 的情况，所以那个阶乘可以直接抵消.
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
namespace IO
{
char buf[100000],*p1,*p2;
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int rd()
{
int x=0; char s=nc();
while(s<'0') s=nc();
while(s>='0') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
return x;
}
void print(int x) {if(x>=10) print(x/10);putchar(x%10+'0');}
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
string out=s+".out";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
// freopen(out.c_str(),"w",stdout);
}
};
const int G=3;
const int N=2000005;
const int mod=998244353;
int A[N],B[N],w[2][N],mem[N*100],*ptr=mem,inv[N],tmpa[N],tmpb[N],aa[N],bb[N];
inline int qpow(int x,int y)
{
int tmp=1;
for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
return tmp;
}
inline int INV(int a) { return qpow(a,mod-2); }
inline void ntt_init(int len)
{
int i,j,k,mid,x,y;
w[1][0]=w[0][0]=1,x=qpow(3,(mod-1)/len),y=qpow(x,mod-2);
for (i=1;i<len;++i) w[0][i]=(ll)w[0][i-1]*x%mod,w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*y%mod;
}
void NTT(int *a,int len,int flag)
{
int i,j,k,mid,x,y;
for(i=k=0;i<len;++i)
{
if(i>k) swap(a[i],a[k]);
for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
}
for(mid=1;mid<len;mid<<=1)
for(i=0;i<len;i+=mid<<1)
for(j=0;j<mid;++j)
{
x=a[i+j], y=(ll)w[flag==-1][len/(mid<<1)*j]*a[i+j+mid]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod;
a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
if(flag==-1)
{
int rev=INV(len);
for(i=0;i<len;++i) a[i]=(ll)a[i]*rev%mod;
}
}
inline void getinv(int *a,int *b,int len,int la)
{
if(len==1) { b[0]=INV(a[0]); return; }
getinv(a,b,len>>1,la);
int l=len<<1,i;
memset(A,0,l*sizeof(A[0]));
memset(B,0,l*sizeof(A[0]));
memcpy(A,a,min(la,len)*sizeof(a[0]));
memcpy(B,b,len*sizeof(b[0]));
ntt_init(l);
NTT(A,l,1),NTT(B,l,1);
for(i=0;i<l;++i) A[i]=((ll)2-(ll)A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
NTT(A,l,-1);
memcpy(b,A,len<<2);
}
void get_dao(int *a,int *b,int len)
{
for(int i=1;i<len;++i) b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
b[len-1]=0;
}
void get_jifen(int *a,int *b,int len)
{
for(int i=1;i<len;++i) b[i]=(ll)INV(i)*a[i-1]%mod;
b[0]=0;
}
void get_ln(int *a,int *b,int len,int la)
{
int l=len<<1,i;
memset(tmpa,0,l<<2);
memset(tmpb,0,l<<2);
get_dao(a,tmpa,min(len,la));
getinv(a,tmpb,len,la);
ntt_init(l);
NTT(tmpa,l,1),NTT(tmpb,l,1);
for(i=0;i<l;++i) tmpa[i]=(ll)tmpa[i]*tmpb[i]%mod;
NTT(tmpa,l,-1);
get_jifen(tmpa,b,len);
}
void get_exp(int *a,int *b,int len,int la)
{
if(len==1) { b[0]=1; return; }
int l=len<<1,i;
get_exp(a,b,len>>1,la);
for(i=0;i<l;++i) aa[i]=bb[i]=0;
for(i=0;i<(len>>1);++i) aa[i]=b[i];
get_ln(b,bb,len,len>>1);
for(i=0;i<len;++i) bb[i]=(ll)(mod-bb[i]+(i>la?0:a[i]))%mod;
bb[0]=(bb[0]+1)%mod;
ntt_init(l);
NTT(aa,l,1),NTT(bb,l,1);
for(i=0;i<l;++i) aa[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%mod;
NTT(aa,l,-1);
for(i=0;i<len;++i) b[i]=aa[i];
}
struct poly
{
int len,*a;
poly(){}
poly(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l; }
inline void rev() { reverse(a,a+len); }
inline void fix(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;}
inline void get_mod(int l) { for(int i=l;i<len;++i) a[i]=0; len=l; }
inline poly dao()
{
poly re(len-1);
for(int i=1;i<len;++i) re.a[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
return re;
}
inline poly jifen()
{
poly c;
c.fix(len+1);
c.a[0]=0;
for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i]=(ll)a[i-1]*INV(i)%mod;
return c;
}
inline poly Inv(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
getinv(a,b.a,lim,len);
return b;
}
inline poly ln(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
get_ln(a,b.a,lim,len);
return b;
}
inline poly exp(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
get_exp(a,b.a,lim,len);
return b;
}
inline poly operator*(const poly &b) const
{
poly c(len+b.len-1);
if(c.len<=500)
{
for(int i=0;i<len;++i)
if(a[i]) for(int j=0;j<b.len;++j) c.a[i+j]=(c.a[i+j]+(ll)(a[i])*b.a[j])%mod;
return c;
}
int n=1;
while(n<(len+b.len)) n<<=1;
memset(A,0,n<<2);
memset(B,0,n<<2);
memcpy(A,a,len<<2);
memcpy(B,b.a,b.len<<2);
ntt_init(n);
NTT(A,n,1), NTT(B,n,1);
for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,n,-1);
memcpy(c.a,A,c.len<<2);
return c;
}
poly operator+(const poly &b) const
{
poly c(max(len,b.len));
for(int i=0;i<c.len;++i) c.a[i]=((i<len?a[i]:0)+(i<b.len?b.a[i]:0))%mod;
return c;
}
poly operator-(const poly &b) const
{
poly c(len);
for(int i=0;i<len;++i)
{
if(i>=b.len) c.a[i]=a[i];
else c.a[i]=(a[i]-b.a[i]+mod)%mod;
}
return c;
}
poly operator/(poly u)
{
int n=len,m=u.len,l=1;
while(l<(n-m+1)) l<<=1;
rev(),u.rev();
poly v=u.Inv(l);
v.get_mod(n-m+1);
poly re=(*this)*v;
rev(),u.rev();
re.get_mod(n-m+1);
re.rev();
return re;
}
poly operator%(poly u)
{
poly re=(*this)-u*(*this/u);
re.get_mod(u.len-1);
return re;
}
}p[N<<2],pr,po,tmp;
// 插值部分
namespace Inter
{
int xx[N],yy[N];
#define lson now<<1
#define rson now<<1|1
inline void pushup(int l,int r,int now)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(r>mid) p[now]=p[lson]*p[rson];
else p[now]=p[lson];
}
void build(int l,int r,int now,int *pp)
{
if(l==r)
{
p[now].fix(2);
p[now].a[0]=mod-pp[l];
p[now].a[1]=1;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid) build(l,mid,lson,pp);
if(r>mid) build(mid+1,r,rson,pp);
p[now]=p[lson]*p[rson];
}
// 多项式多点求值
void get_val(int l,int r,int now,poly b,int *pp,int *t)
{
if(b.len<=500)
{
for(int i=l;i<=r;++i)
{
ull s=0;
for(int j=b.len-1;j>=0;--j)
{
s=((ull)s*pp[i]+b.a[j])%mod;
if(!(j&7)) s%=mod;
}
t[i]=s%mod;
}
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid) get_val(l,mid,lson,b%p[lson],pp,t);
if(r>mid) get_val(mid+1,r,rson,b%p[rson],pp,t);
}
// 多项式快速插值
poly solve_polate(int l,int r,int now,int *t)
{
if(l==r)
{
poly re(1);
re.a[0]=t[l];
return re;
}
int mid=(l+r)>>1;
poly L,R;
L=solve_polate(l,mid,lson,t);
R=solve_polate(mid+1,r,rson,t);
return L*p[rson]+R*p[lson];
}
};
int fac[N];
int main()
{
// IO::setIO("input");
int i,j,n=100008;
fac[0]=1;
pr.fix(n);
tmp.fix(n);
for(i=1;i<n;++i)
{
fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
tmp.a[i]=INV(fac[i]);
pr.a[i]=mod-INV(fac[i]);
}
pr.a[0]=(ll)(pr.a[0]+1)%mod;
pr=pr.Inv(n);
tmp=tmp*pr*pr;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int o;
scanf("%d",&o);
printf("%d
",(ll)tmp.a[o]*INV(pr.a[o])%mod);
}
return 0;
}