题意：有一个栈，随机插入 $n$ 次 $0$/$1$
如果栈顶是 $1$，然后插入 $0$，则将这两个元素都弹出，否则，插入栈顶.
求：$n$ 次操作后栈中期望的元素个数.
我们发现，按照上述弹栈方式进行，栈中元素一定是由若干个连续 $0$ 加上若干个连续 $1$ 组成.
而 $1$ 所在的联通块还在栈顶，所以我们只需考虑 $1$ 的个数即可.
令 $f[i][j]$ 表示 $i$ 次操作过后，栈中有 $j$ 个 $1$ 时期望的元素个数.
由于期望在任何时候都有可加性，所以 $f[i+1][]$ 的期望可以表示成 $f[i][]$ 加上新加入/删掉 $1$ 的期望.
我们令 $p[i][j]$ 表示 $i$ 轮操作后栈中有 $j$ 个 $1$ 的概率，那么有 $frac{f[i][j]+p[i][j]}{2} ightarrow f[i+1][j+1]$
因为 $i$ 轮后有 $j$ 个 $1$ 的期望个数是 $f[i][j]$，而下一轮要保证抽到的还是 $1$，所以概率为 $frac{1}{2}$
即 $f[i][j] imes frac{1}{2}$ 但是在当前局面增加的长度绝对不是 $frac{1}{2}$ 因为期望等于概率乘以权值.
而 $i$ 轮后有 $j$ 个 $1$ 的长度的概率是 $p[i][j]$，而下一次还抽到 $1$ 的概率是 $frac{1}{2}$，权值是 $1$
所以累加的是 $frac{p[i][j]}{2}$
整理可得 $frac{f[i][j]+p[i][j]}{2} ightarrow f[i+1][j+1]$，$frac{f[i][j]-p[i][j]}{2} ightarrow f[i+1][j-1]$
这种用概率来转移期望的套路还真是挺巧妙的~
#include <bits/stdc++.h>
#define N 2004
#define LL long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
double p[N][N],f[N][N];
int main()
{
// setIO("input");
int i,j,n;
scanf("%d",&n), p[0][0]=1;
double ans=0.0;
for(i=0;i<n;++i)
{
p[i+1][1]+=p[i][0]/2, f[i+1][1]+=(f[i][0]+p[i][0])/2;
p[i+1][0]+=p[i][0]/2, f[i+1][0]+=(f[i][0]+p[i][0])/2;
for(j=1;j<n;++j)
{
p[i+1][j+1]+=p[i][j]/2, f[i+1][j+1]+=(f[i][j]+p[i][j])/2;
p[i+1][j-1]+=p[i][j]/2, f[i+1][j-1]+=(f[i][j]-p[i][j])/2;
}
}
for(i=0;i<=n;++i) ans+=f[n][i];
printf("%.3f
",ans);
return 0;
}