最小费用最大流

通过EK，Dinic，ISAP算法可以得到网络流图中的最大流，一个网络流图中最大流的流量max_flow是唯一的，但是达到最大流量max_flow时每条边上的流量分配f是不唯一的。
如果给网络流图中的每条边都设置一个费用cost，表示单位流量流经该边时会导致花费cost。那么在这些流量均为max_flow的流量分配f中，存在一个流量总花费最小的最大流方案。
即 min{sum(cost(i, j)*f(i,j) | (i, j)属于方案f中的边， f(i,j)为边(i,j)上的流量， f为某一个最大流方案}。此即为最小费用最大流。

算法思想

采用贪心的思想，每次找到一条从源点到达汇点的路径，增加流量，且该条路径满足使得增加的流量的花费最小，直到无法找到一条从源点到达汇点的路径，算法结束。
由于最大流量有限，每执行一次循环流量都会增加，因此该算法肯定会结束，且同时流量也必定会达到网络的最大流量；同时由于每次都是增加的最小的花费，即当前的最小花费是所有到达当前流量flow时的花费最小值，因此最后的总花费最小。

求解步骤

（1）找到一条从源点到达汇点的“距离最短”的路径，“距离”使用该路径上的边的单位费用之和来衡量。
（2）然后找出这条路径上的边的容量的最小值f，则当前最大流max_flow扩充f，同时当前最小费用min_cost扩充 f*min_dist(s,t)。
（3）将这条路径上的每条正向边的容量都减少f，每条反向边的容量都增加f。
（4）重复（1）--（3）直到无法找到从源点到达汇点的路径。

需要注意几点：
1、注意超级源点和超级终点的建立。
2、初始化时，正向边的单位流量费用为cost[u][v]，那么反向边的单位流量费用就为-cost[u][v]。因为回流费用减少。
3、费用cost数组和容量cap数组每次都要初始化为0。

求解从源点到汇点的“最短”路径时，由于网络中存在负权边，因此使用SPFA来实现。

实现

#define INFINITE 1 << 26
#define MAX_NODE 1005
#define MAX_EDGE_NUM 40005
struct Edge{
	int to;
	int vol;
	int cost;
	int next;
};
Edge gEdges[MAX_EDGE_NUM];

int gHead[MAX_NODE];
int gPre[MAX_NODE];
int gPath[MAX_NODE];
int gDist[MAX_NODE];

int gEdgeCount;
void InsertEdge(int u, int v, int vol, int cost){
	gEdges[gEdgeCount].to = v;
	gEdges[gEdgeCount].vol = vol;
	gEdges[gEdgeCount].cost = cost;
	gEdges[gEdgeCount].next = gHead[u];
	gHead[u] = gEdgeCount++;

	gEdges[gEdgeCount].to = u;
	gEdges[gEdgeCount].vol = 0;			//vol为0，表示开始时候，该边的反向不通
	gEdges[gEdgeCount].cost = -cost;	//cost 为正向边的cost相反数，这是为了
	gEdges[gEdgeCount].next = gHead[v];
	gHead[v] = gEdgeCount++;
}

//假设图中不存在负权和环,SPFA算法找到最短路径/从源点s到终点t所经过边的cost之和最小的路径
bool Spfa(int s, int t){
	memset(gPre, -1, sizeof(gPre));
	memset(gDist, 0x7F, sizeof(gDist));
	gDist[s] = 0;
	queue<int> Q;
	Q.push(s);
	while (!Q.empty()){//由于不存在负权和环，因此一定会结束
		int u = Q.front();
		Q.pop();

		for (int e = gHead[u]; e != -1; e = gEdges[e].next){
			int v = gEdges[e].to;
			if (gEdges[e].vol > 0 && gDist[u] + gEdges[e].cost < gDist[v]){
				gDist[v] = gDist[u] + gEdges[e].cost;
				gPre[v] = u; //前一个点
				gPath[v] = e;//该点连接的前一个边
				Q.push(v);
			}
		}
	}

	if (gPre[t] == -1)  //若终点t没有设置pre，说明不存在到达终点t的路径
		return false;
	return true;
}

int MinCostFlow(int s, int t){
	int cost = 0;
	int flow = 0;
	while (Spfa(s, t)){
		int f = INFINITE;
		for (int u = t; u != s; u = gPre[u]){
			if (gEdges[gPath[u]].vol < f)
				f = gEdges[gPath[u]].vol;
		}
		flow += f;
		cost += gDist[t] * f;
		for (int u = t; u != s; u = gPre[u]){
			gEdges[gPath[u]].vol -= f;	 //正向边容量减少
			gEdges[gPath[u]^1].vol += f; //反向边容量增加
		}
	}
	return cost;
}