机器学习的数学基础-（三、概率论和数理统计）

概率论和数理统计

随机事件和概率

1.事件的关系与运算

(1) 子事件： $A subset B$ ，若 $A$ 发生，则 $B$ 发生。

(2) 相等事件： $A = B$ ，即 $A subset B$ ，且 $B subset A$ 。

(3) 和事件： $Aigcup B$ （或 $A + B$ ）， $A$ 与 $B$ 中至少有一个发生。

(4) 差事件： $A - B$ ， $A$ 发生但 $B$ 不发生。

(5) 积事件： $Aigcap B$ （或 ${AB}$ ）， $A$ 与 $B$ 同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）： $Aigcap B=varnothing$ 。

(7) 互逆事件（对立事件）：
$Aigcap B=varnothing ,Aigcup B=Omega ,A=ar{B},B=ar{A}$

2.运算律
(1) 交换律： $Aigcup B=Bigcup A,Aigcap B=Bigcap A$
(2) 结合律： $(Aigcup B)igcup C=Aigcup (Bigcup C)$ ；
$(Aigcap B)igcap C=Aigcap (Bigcap C)$
(3) 分配律： $(Aigcup B)igcap C=(Aigcap C)igcup (Bigcap C)$

3.德 $centerdot$ 摩根律

$overline{Aigcup B}=ar{A}igcap ar{B}$ $overline{Aigcap B}=ar{A}igcup ar{B}$

4.完全事件组

${{A}_{1}}{{A}_{2}}cdots {{A}_{n}}$ 两两互斥，且和事件为必然事件，即 ${{A}_{i}}igcap {{A}_{j}}=varnothing, i e j ,underset{i=1}{overset{n}{mathop igcup }}\,=Omega$

5.概率的基本公式
(1)条件概率:
$P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}$ ,表示 $A$ 发生的条件下， $B$ 发生的概率。
(2)全概率公式：
$P(A)=sumlimits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=varnothing ,i e j,underset{i=1}{overset{n}{mathop{igcup }}}\,{{B}_{i}}=Omega$
(3) Bayes公式：

$P({{B}_{j}}|A)=frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{sumlimits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,cdots ,n$
注：上述公式中事件 ${{B}_{i}}$ 的个数可为可列个。

(4)乘法公式： $P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$

$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}cdots {{A}_{n-1}})$

6.事件的独立性
(1) $A$ 与 $B$ 相互独立 $Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$
(2) $A$ ， $B$ ， $C$ 两两独立
$Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ ; $P(BC)=P(B)P(C)$ ; $P(AC)=P(A)P(C)$ ;
(3) $A$ ， $B$ ， $C$ 相互独立
$Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ ; $P(BC)=P(B)P(C)$ ;
$P(AC)=P(A)P(C)$ ; $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

7.独立重复试验

将某试验独立重复 $n$ 次，若每次实验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，则 $n$ 次试验中 $A$ 发生 $k$ 次的概率为：
$P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$

8.重要公式与结论

(1) $P(ar{A})=1-P(A)$

(2) $P(Aigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ $P(Aigcup Bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

(3) $P(A-B)=P(A)-P(AB)$

(4) $P(Aar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(Aar{B})$ , $P(Aigcup B)=P(A)+P(ar{A}B)=P(AB)+P(Aar{B})+P(ar{A}B)$

(5)条件概率 $P(centerdot |B)$ 满足概率的所有性质，例如：. $P({{ar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)$

$P({{A}_{1}}igcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)$ $P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)$
(6)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},cdots ,{{A}_{n}}$ 相互独立，则 $$P(igcaplimits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=prodlimits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})}$ , $P(igcuplimits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=prodlimits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}$

(7)互斥、互逆与独立性之间的关系： $A$ 与 $B$ 互逆 $Rightarrow$ $A$ 与 $B$ 互斥，但反之不成立， $A$ 与 $B$ 互斥（或互逆）且均非零概率事件 $Rightarrow$ $A$ 与 $B$ 不独立。

(8)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},cdots ,{{B}_{n}}$ 相互独立，则 $f({{A}_{1}},{{A}_{2}},cdots ,{{A}_{m}})$ 与 $g({{B}_{1}},{{B}_{2}},cdots ,{{B}_{n}})$ 也相互独立，其中 $f(centerdot ),g(centerdot )$ 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布

1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

定义： $F(x) = P(X leq x), - infty < x < + infty$

性质：

(1) $0 leq F(x) leq 1$

(2) $F(x)$ 单调不减

(3) 右连续 $F(x + 0) = F(x)$

(4) $F( - infty) = 0,F( + infty) = 1$

3.离散型随机变量的概率分布

$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,cdots,n,cdotsquadquad p_{i} geq 0,sum_{i =1}^{infty}p_{i} = 1$

4.连续型随机变量的概率密度

概率密度 $f(x)$ ;非负可积，且:

(1) $f(x) geq 0$

(2) $int_{- infty}^{+infty}{f(x){dx} = 1}$

(3) $x$ 为 $f(x)$ 的连续点，则:

$f(x) = F'(x)$ 分布函数 $F(x) = int_{- infty}^{x}{f(t){dt}}$

5.常见分布

(1) 0-1分布: $P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

(2) 二项分布: $B(n,p)$ ： $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,cdots,n$

(3) Poisson分布: $p(lambda)$ ： $P(X = k) = frac{lambda^{k}}{k!}e^{-lambda},lambda > 0,k = 0,1,2cdots$

(4) 均匀分布 $U(a,b)$ ： $f(x) = { egin{matrix} & frac{1}{b - a},a < x< b \ & 0, \ end{matrix}$

(5) 正态分布: $N(mu,sigma^{2})$ ： $varphi(x) =frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{- frac{{(x - mu)}^{2}}{2sigma^{2}}},sigma > 0,infty < x < + infty$

(6)指数分布: $E(lambda):f(x) ={ egin{matrix} & lambda e^{-{λx}},x > 0,lambda > 0 \ & 0, \ end{matrix}$

(7)几何分布: $G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,cdots.$

(8)超几何分布: $H(N,M,n):P(X = k) = frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,cdots,min(n,M)$

6.随机变量函数的概率分布

(1)离散型： $P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$

则: $P(Y = y_{j}) = sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

(2)连续型： $X ilde{ }f_{X}(x),Y = g(x)$

则: $F_{y}(y) = P(Y leq y) = P(g(X) leq y) = int_{g(x) leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$ ， $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7.重要公式与结论

(1) $Xsim N(0,1) Rightarrow varphi(0) = frac{1}{sqrt{2pi}},Phi(0) =frac{1}{2}$ ， $Phi( - a) = P(X leq - a) = 1 - Phi(a)$

(2) $Xsim Nleft( mu,sigma^{2} ight) Rightarrow frac{X -mu}{sigma}sim Nleft( 0,1 ight),P(X leq a) = Phi(frac{a -mu}{sigma})$

(3) $Xsim E(lambda) Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$

(4) $Xsim G(p) Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量 $(X,Y)$ ，联合分布为 $F(x,y) = P(X leq x,Y leq y)$

2.二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律 $P{ X = x_{i},Y = y_{j}} = p_{{ij}};i,j =1,2,cdots$

(2) 边缘分布律 $p_{i cdot} = sum_{j = 1}^{infty}p_{{ij}},i =1,2,cdots$

$p_{cdot j} = sum_{i}^{infty}p_{{ij}},j = 1,2,cdots$

(3) 条件分布律 $P{ X = x_{i}|Y = y_{j}} = frac{p_{{ij}}}{p_{cdot j}}$ $P{ Y = y_{j}|X = x_{i}} = frac{p_{{ij}}}{p_{i cdot}}$

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度 $f(x,y)$ ：

1) $f(x,y) geq 0$

2) $int_{- infty}^{+ infty}{int_{- infty}^{+ infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$

(2) 分布函数： $F(x,y) = int_{- infty}^{x}{int_{- infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

(3) 边缘概率密度： $f_{X}left( x ight) = int_{- infty}^{+ infty}{fleft( x,y ight){dy}}$ $f_{Y}(y) = int_{- infty}^{+ infty}{f(x,y)dx}$

(4) 条件概率密度： $f_{X|Y}left( x middle| y ight) = frac{fleft( x,y ight)}{f_{Y}left( y ight)}$ $f_{Y|X}(y|x) = frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4.常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布： $(x,y) sim U(D)$ , $f(x,y) = egin{cases} frac{1}{S(D)},(x,y) in D \ 0,其他 end{cases}$

(2) 二维正态分布： $(X,Y)sim N(mu_{1},mu_{2},sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2}, ho)$ , $(X,Y)sim N(mu_{1},mu_{2},sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2}, ho)$

$f(x,y) = frac{1}{2pisigma_{1}sigma_{2}sqrt{1 - ho^{2}}}.expleft{ frac{- 1}{2(1 - ho^{2})}lbrackfrac{{(x - mu_{1})}^{2}}{sigma_{1}^{2}} - 2 hofrac{(x - mu_{1})(y - mu_{2})}{sigma_{1}sigma_{2}} + frac{{(y - mu_{2})}^{2}}{sigma_{2}^{2}} brack ight}$

5.随机变量的独立性和相关性

$X$ 和 $Y$ 的相互独立: $Leftrightarrow Fleft( x,y ight) = F_{X}left( x ight)F_{Y}left( y ight)$ :

$Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i cdot} cdot p_{cdot j}$ （离散型） $Leftrightarrow fleft( x,y ight) = f_{X}left( x ight)f_{Y}left( y ight)$ （连续型）

$X$ 和 $Y$ 的相关性：

相关系数 $ho_{{XY}} = 0$ 时，称 $X$ 和 $Y$ 不相关，
否则称 $X$ 和 $Y$ 相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： $Pleft( X = x_{i},Y = y_{i} ight) = p_{{ij}},Z = gleft( X,Y ight)$ 则：

$P(Z = z_{k}) = Pleft{ gleft( X,Y ight) = z_{k} ight} = sum_{gleft( x_{i},y_{i} ight) = z_{k}}^{}{Pleft( X = x_{i},Y = y_{j} ight)}$

连续型： $left( X,Y ight) sim fleft( x,y ight),Z = gleft( X,Y ight)$
则：

$F_{z}left( z ight) = Pleft{ gleft( X,Y ight) leq z ight} = iint_{g(x,y) leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$ , $f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7.重要公式与结论

(1) 边缘密度公式： $f_{X}(x) = int_{- infty}^{+ infty}{f(x,y)dy,}$ $f_{Y}(y) = int_{- infty}^{+ infty}{f(x,y)dx}$

(2) $Pleft{ left( X,Y ight) in D ight} = iint_{D}^{}{fleft( x,y ight){dxdy}}$

(3) 若 $(X,Y)$ 服从二维Y=y正态分布 $N(mu_{1},mu_{2},sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2}, ho)$
则有：

1) $Xsim Nleft( mu_{1},sigma_{1}^{2} ight),Ysim N(mu_{2},sigma_{2}^{2}).$

2) $X$ 与 $Y$ 相互独立 $Leftrightarrow ho = 0$ ，即 $X$ 与 $Y$ 不相关。

3) $C_{1}X + C_{2}Ysim N(C_{1}mu_{1} + C_{2}mu_{2},C_{1}^{2}sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}sigma_{1}sigma_{2} ho)$

4) ${ X}$ 关于 $Y=y$ 的条件分布为： $N(mu_{1} + hofrac{sigma_{1}}{sigma_{2}}(y - mu_{2}),sigma_{1}^{2}(1 - ho^{2}))$

5) $Y$ 关于 $X = x$ 的条件分布为： $N(mu_{2} + hofrac{sigma_{2}}{sigma_{1}}(x - mu_{1}),sigma_{2}^{2}(1 - ho^{2}))$

(4) 若 $X$ 与 $Y$ 独立，且分别服从 $N(mu_{1},sigma_{1}^{2}),N(mu_{1},sigma_{2}^{2}),$
则： $left( X,Y ight)sim N(mu_{1},mu_{2},sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2},0),$

$C_{1}X + C_{2}Y ilde{ }N(C_{1}mu_{1} + C_{2}mu_{2},C_{1}^{2}sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}sigma_{2}^{2}).$

(5) 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $fleft( x ight)$ 和 $gleft( x ight)$ 为连续函数，则 $fleft( X ight)$ 和 $g(Y)$ 也相互独立。

随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型： $Pleft{ X = x_{i} ight} = p_{i},E(X) = sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$ ；

连续型： $Xsim f(x),E(X) = int_{- infty}^{+ infty}{xf(x)dx}$

性质：

(1) $E(C) = C,Elbrack E(X) brack = E(X)$

(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$

(3) 若 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$

(4) $leftlbrack E(XY) ight brack^{2} leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2.方差： $D(X) = Eleftlbrack X - E(X) ight brack^{2} = E(X^{2}) - leftlbrack E(X) ight brack^{2}$

3.标准差： $sqrt{D(X)}$ ，

4.离散型： $D(X) = sum_{i}^{}{leftlbrack x_{i} - E(X) ight brack^{2}p_{i}}$

5.连续型： $D(X) = {int_{- infty}^{+ infty}leftlbrack x - E(X) ight brack}^{2}f(x)dx$

性质：

(1) $D(C) = 0,Dlbrack E(X) brack = 0,Dlbrack D(X) brack = 0$

(2) $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $D(X pm Y) = D(X) + D(Y)$

(3) $Dleft( C_{1}X + C_{2} ight) = C_{1}^{2}Dleft( X ight)$

(4) 一般有 $D(X pm Y) = D(X) + D(Y) pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) pm 2 hosqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}$

(5) $Dleft( X ight) < Eleft( X - C ight)^{2},C eq Eleft( X ight)$

(6) $D(X) = 0 Leftrightarrow Pleft{ X = C ight} = 1$

6.随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数 $Y = g(x)$

$X$ 为离散型： $P{ X = x_{i}} = p_{i},E(Y) = sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$ ；

$X$ 为连续型： $Xsim f(x),E(Y) = int_{- infty}^{+ infty}{g(x)f(x)dx}$

(2) $Z = g(X,Y)$ ; $left( X,Y ight)sim P{ X = x_{i},Y = y_{j}} = p_{{ij}}$ ; $E(Z) = sum_{i}^{}{sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}},left( X,Y ight)sim f(x,y)$ ; $E(Z) = int_{- infty}^{+ infty}{int_{- infty}^{+ infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7.协方差

$Cov(X,Y) = Eleftlbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) ight brack$

8.相关系数

$ho_{{XY}} = frac{Cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$ ;
$k$ 阶中心矩 $Eleft{ {lbrack X - E(X) brack}^{k} ight}$

性质：

(1) $Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$

(2) $Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$

(3) $Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$

(4) $left| holeft( X,Y ight) ight| leq 1$

(5) $holeft( X,Y ight) = 1 Leftrightarrow Pleft( Y = aX + b ight) = 1$ ，其中 $a > 0$

$holeft( X,Y ight) = - 1 Leftrightarrow Pleft( Y = aX + b ight) = 1$
，其中 $a < 0$

9.重要公式与结论

(1) $D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$

(2) $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

(3) $left| holeft( X,Y ight) ight| leq 1,$ 且 $holeft( X,Y ight) = 1 Leftrightarrow Pleft( Y = aX + b ight) = 1$ ，其中 $a > 0$

$holeft( X,Y ight) = - 1 Leftrightarrow Pleft( Y = aX + b ight) = 1$ ，其中 $a < 0$

(4) 下面5个条件互为充要条件：

$ho(X,Y) = 0$ $Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$

$Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$

注： $X$ 与 $Y$ 独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1.基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用 $X$ 表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体 $X$ 的 $n$ 个相互独立且与总体同分布的随机变量 $X_{1},X_{2}cdots,X_{n}$ ，称为容量为 $n$ 的简单随机样本，简称样本。

统计量：设 $X_{1},X_{2}cdots,X_{n},$ 是来自总体 $X$ 的一个样本， $g(X_{1},X_{2}cdots,X_{n})$ ）是样本的连续函数，且 $g()$ 中不含任何未知参数，则称 $g(X_{1},X_{2}cdots,X_{n})$ 为统计量。

样本均值： $overline{X} = frac{1}{n}sum_{i = 1}^{n}X_{i}$

样本方差： $S^{2} = frac{1}{n - 1}sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - overline{X})}^{2}$

样本矩：样本 $k$ 阶原点矩： $A_{k} = frac{1}{n}sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,cdots$

样本 $k$ 阶中心矩： $B_{k} = frac{1}{n}sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - overline{X})}^{k},k = 1,2,cdots$

2.分布

$chi^{2}$ 分布： $chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + cdots + X_{n}^{2}simchi^{2}(n)$ ，其中 $X_{1},X_{2}cdots,X_{n},$ 相互独立，且同服从 $N(0,1)$

$t$ 分布： $T = frac{X}{sqrt{Y/n}}sim t(n)$ ，其中 $Xsim Nleft( 0,1 ight),Ysimchi^{2}(n),$ 且 $X$ ， $Y$ 相互独立。

$F$ 分布： $F = frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}sim F(n_{1},n_{2})$ ，其中 $Xsimchi^{2}left( n_{1} ight),Ysimchi^{2}(n_{2}),$ 且 $X$ ， $Y$ 相互独立。

分位数：若 $P(X leq x_{alpha}) = alpha,$ 则称 $x_{alpha}$ 为 $X$ 的 $alpha$ 分位数

3.正态总体的常用样本分布

(1) 设 $X_{1},X_{2}cdots,X_{n}$ 为来自正态总体 $N(mu,sigma^{2})$ 的样本，

$overline{X} = frac{1}{n}sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = frac{1}{n - 1}sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - overline{X})}^{2},}$ 则：

1) $overline{X}sim Nleft( mu,frac{sigma^{2}}{n} ight){ }$ 或者 $frac{overline{X} - mu}{frac{sigma}{sqrt{n}}}sim N(0,1)$

2) $frac{(n - 1)S^{2}}{sigma^{2}} = frac{1}{sigma^{2}}sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - overline{X})}^{2}simchi^{2}(n - 1)}$

3) $frac{1}{sigma^{2}}sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - mu)}^{2}simchi^{2}(n)}$

4) ${ }frac{overline{X} - mu}{S/sqrt{n}}sim t(n - 1)$

4.重要公式与结论

(1) 对于 $chi^{2}simchi^{2}(n)$ ，有 $E(chi^{2}(n)) = n,D(chi^{2}(n)) = 2n;$

(2) 对于 $Tsim t(n)$ ，有 $E(T) = 0,D(T) = frac{n}{n - 2}(n > 2)$ ；

(3) 对于 $F ilde{ }F(m,n)$ ，有 $frac{1}{F}sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$

(4) 对于任意总体 $X$ ，有 $E(overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(overline{X}) = frac{D(X)}{n}$