阶梯NIM
问题形式
有(n)个位置(1....n)，每个位置上(a_i)个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选(1.....n)中任一一个存在石子的位置(i)，将至少1个石子移动至(i−1)位置（也就是最后所有石子都堆在在0这个位置）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。
结论
问题等价于，求位置为奇数的(a_i)的异或和，若异或和等于0，则先手必败，否则先手必胜。你可能已经注意到这非常像Nim游戏。其实这个游戏恰好等价于：将每个奇数位置的数x看成一堆有x个石子的石子堆，然后玩Nim游戏。
为啥
如果是先手且必胜，按照NIM博弈的方式移动奇数号，如果对手也移动奇数号，那么继续，如果对手移动偶数号（对于奇数号产生了影响），那么先手将对手移动的石子往下再移动，即是把对手操作从奇数号移动到奇数号，没有改变，那么先手必胜，必败也是同理
树上NIM
问题形式：
给定一棵树，每个点有点权，两个人玩NIM游戏
结论
深度为奇数的点权异或起来，如果非0，先手必胜。
为啥
不也相当于二维的阶梯博弈