一：基本概念
跳跃表是一种随机化的数据结构，在查找、插入和删除这些字典操作上，其效率可比拟于平衡二叉树（如红黑树），大多数操作只需要O(log n)平均时间，但它的代码以及原理更简单。跳跃表的定义如下：
“Skip lists are data structures that use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing. As a result, the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.”
译文：跳跃表使用概率平衡，而不是强制平衡，因此，对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。
跳跃表基于有序单链表，在链表的基础上，每个结点不只包含一个指针，还可能包含多个指向后继结点的指针，这样就可以跳过一些不必要的结点，从而加快查找、删除等操作。如下图就是一个跳跃表：
传统的单链表是一个线性结构，向有序的链表中插入、查找一个结点需要O(n)的时间。如果使用上图的跳跃表，就可以减少查找所需的时间。
跳跃表的插入和删除操作都基于查找操作，理解了查找操作，也就理解了跳跃表的本质。查找就是给定一个key，查找这个key是否出现在跳跃表中。
结合上图，如果想查找19是否存在，从最高层开始，首先和头结点的最高层的后继结点9进行比较，19大于9，因此接着和9在该层上的后继结点21进行比较，小于21，那这个值肯定在9结点和21结点之间。
因此，下移一层，接着和9在该层上的后继结点17进行比较，19大于17，然后和21进行比较，小于21，此时肯定在17结点和21结点之间。
接着下移一层，和17在该层上的后继结点19进行比较，这样就最终找到了。
上面就是跳跃表的基本思想，跳跃表结点包含多少个指向后继元素的指针，是通过一个随机函数生成器得到的。这就是为什么论文“Skip Lists : A Probabilistic Alternative to Balanced Trees ”中有“概率”的原因了，就是通过随机生成一个结点中指向后续结点的指针数目。
二：Redis中的跳跃表
Redis使用跳跃表作为有序集合键的底层实现之一，若一个有序集合包含的元素数量比较多，或者有序集合中的成员是比较长的字符串时，Redis就会使用跳跃表来作为有序集合键的底层实现。
有序集合使用两种数据结构来实现，从而可以使插入和删除操作达到O(log(N))的时间复杂度。这两种数据结构是哈希表和跳跃表。向哈希表添加元素，用于将成员对象映射到分数；同时将该元素添加到跳跃表，以分数进行排序。
和链表、字典等数据结构被广泛地应用在Redis内部不同，Redis只在两个地方用到了跳跃表，一个是实现有序集合键，另一个是在集群结点中用作内部数据结构。除此之外，跳跃表在Redis里面没有其他用途。
Redis的跳跃表实现跟WilliamPugh在"Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees"中描述的跳跃表算法类似，只是有三点不同：
a、允许重复分数；
b、排序不止根据分数，还可能根据成员对象（当分数相同时）；
c、有一个前继指针，因此在第1层，就形成了一个双向链表，从而可以方便的从表尾向表头遍历，用于ZREVRANGE命令的实现。
Redis跳跃表的相关结构体定义在redis.h中，实现在t_zset.c中。
1：跳跃表结点
在redis.h中定义了结构体zskiplistNode表示跳跃表结点，它的定义如下：
typedef struct zskiplistNode {
robj *obj;
double score;
struct zskiplistNode *backward;
struct zskiplistLevel {
struct zskiplistNode *forward;
unsigned int span;
} level[];
} zskiplistNode;
obj是该结点的成员对象指针，score是该对象的分值，是一个浮点数，跳跃表中的所有结点，都是根据score从小到大来排序的。
同一个跳跃表中，各个结点保存的成员对象必须是唯一的，但是多个结点保存的分值却可以是相同的：分值相同的结点将按照成员对象的字典顺序从小到大进行排序。
level数组是一个柔性数组成员，它可以包含多个元素，每个元素都包含一个层指针(level[i].forward)，指向该结点在本层的后继结点。该指针用于从表头向表尾方向访问结点。可以通过这些层指针来加快访问结点的速度。
每次创建一个新跳跃表结点的时候，程序都根据幂次定律（power law，越大的数出现的概率越小）随机生成一个介于1和32之间的值作为level数组的大小，这个大小就是该结点包含的层数。
Redis中的跳跃表，与普通跳跃表的区别之一，就是包含了层跨度(level[i].span)的概念。这是因为在有序集合支持的命令中，有些跟元素在集合中的排名有关，比如获取元素的排名，根据排名获取、删除元素等。通过跳跃表结点的层跨度，可以快速得到该结点在跳跃表中的排名。
计算结点的排名，就是在查找某个结点的过程中，将沿途访问过的所有结点的层跨度累加起来，得到的结果就是目标结点在跳跃表中的排名。
层跨度用于记录本层两个相邻结点之间的距离，举个例子，如下图的跳跃表：
跳跃表头结点（header指向的节点）排名为0，之后的节点排名以此类推。在上图跳跃表中查找计算分值为3.0、成员对象为o3的结点的排名。查找过程只遍历了头结点的L5层就找到了，并且头结点该层的跨度为3，因此得到该结点在跳跃表中的排名为3。
如果要查找分值为2.0、成员对象为o2的结点，查找结点的过程中，首先经过头结点的L4层，然后是o1结点的L2层，也就是经过了两个层跨度为1的结点，因此得到目标结点在跳跃表中的排名为2。
Redis中的跳跃表，与普通跳跃表的另一个区别就是，每个结点还有一个前继指针backward。可用于从表尾向表头方向访问结点。通过结点的前继指针，组成了一个普通的链表。因为每个结点只有一个前继指针，所以只能依次访问结点，而不能跳过结点。
2：跳跃表
在redis.h中定义了结构体zskiplist表示跳跃表，它的定义如下：
typedef struct zskiplist {
struct zskiplistNode *header, *tail;
unsigned long length;
int level;
} zskiplist;
header和tail指针分别指向跳跃表的表头结点和表尾结点，通过这两个指针，定位表头结点和表尾结点的复杂度为O(1)。表尾结点是表中最后一个结点。而表头结点实际上是一个伪结点，该结点的成员对象为NULL，分值为0，它的层数固定为32（层的最大值）。
length属性记录结点的数最，程序可以在O(1)的时间复杂度内返回跳跃表的长度。
level属性记录跳跃表的层数，也就是表中层高最大的那个结点的层数，注意，表头结点的层高并不计算在内。
下面就是一个zskiplist表示的跳跃表：
三：实现
1：随机算法
一个具有k个后继指针的结点称为k层结点。假设k层结点的数量是k+1层结点的P倍，那么其实这个跳跃表可以看成是一棵平衡的P叉树。跳跃表结点的层数，采用随机化算法得到，实现如下：
int zslRandomLevel(void) {
int level = 1;
while ((random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
level += 1;
return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}
这里的ZSKIPLIST_P是0.25。上述代码中，level初始化为1，然后，如果持续满足条件：(random()&0xFFFF)< (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF)的话，则level+=1。最终调整level的值，使其小于ZSKIPLIST_MAXLEVEL。
理解该算法的核心，就是要理解满足条件：(random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF)的概率是多少？
random()&0xFFFF形成的数，均匀分布在区间[0,0xFFFF]上，那么这个数小于(ZSKIPLIST_P * 0xFFFF)的概率是多少呢？自然就是ZSKIPLIST_P，也就是0.25了。
因此，最终返回level为1的概率是1-0.25=0.75，返回level为2的概率为0.25*0.75，返回level为3的概率为0.25*0.25*0.75......因此，如果返回level为k的概率为x，则返回level为k+1的概率为0.25*x，换句话说，如果k层的结点数是x，那么k+1层就是0.25*x了。这就是所谓的幂次定律（powerlaw），越大的数出现的概率越小。
测试代码如下：
void test_zslRandomLevel(){
unsigned int trytimes = 0xffffff;
unsigned int i = 0;
int resset[33] = {trytimes,};
double percent = 0.0;
for(i = 0; i < trytimes; i++){
resset[zslRandomLevel()]++;
}
for(i = 1; i <= 32; i++){
if(resset[i-1] == 0){
percent = 0.0;
}
else{
percent = (double)resset[i]/resset[i-1];
}
printf("resset[%u] is %d, percentage of resset[%u] is %f%%
",
i, resset[i], i-1, percent);
}
}
结果如下：
resset[1] is 12583714, percentage of resset[0] is 0.750048% resset[2] is 3146005, percentage of resset[1] is 0.250006% resset[3] is 785421, percentage of resset[2] is 0.249657% resset[4] is 196516, percentage of resset[3] is 0.250205% resset[5] is 49350, percentage of resset[4] is 0.251125% resset[6] is 12163, percentage of resset[5] is 0.246464% resset[7] is 3024, percentage of resset[6] is 0.248623% resset[8] is 748, percentage of resset[7] is 0.247354% resset[9] is 216, percentage of resset[8] is 0.288770% resset[10] is 46, percentage of resset[9] is 0.212963% resset[11] is 12, percentage of resset[10] is 0.260870% resset[12] is 0, percentage of resset[11] is 0.000000% resset[13] is 0, percentage of resset[12] is 0.000000% resset[14] is 0, percentage of resset[13] is 0.000000% resset[15] is 0, percentage of resset[14] is 0.000000% resset[16] is 0, percentage of resset[15] is 0.000000% resset[17] is 0, percentage of resset[16] is 0.000000% resset[18] is 0, percentage of resset[17] is 0.000000% resset[19] is 0, percentage of resset[18] is 0.000000% resset[20] is 0, percentage of resset[19] is 0.000000% resset[21] is 0, percentage of resset[20] is 0.000000% resset[22] is 0, percentage of resset[21] is 0.000000% resset[23] is 0, percentage of resset[22] is 0.000000% resset[24] is 0, percentage of resset[23] is 0.000000% resset[25] is 0, percentage of resset[24] is 0.000000% resset[26] is 0, percentage of resset[25] is 0.000000% resset[27] is 0, percentage of resset[26] is 0.000000% resset[28] is 0, percentage of resset[27] is 0.000000% resset[29] is 0, percentage of resset[28] is 0.000000% resset[30] is 0, percentage of resset[29] is 0.000000% resset[31] is 0, percentage of resset[30] is 0.000000% resset[32] is 0, percentage of resset[31] is 0.000000%
可见，层数分布基本上是符合预期的。
2：插入
向跳跃表插入新的结点，代码如下：
zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, robj *obj) {
zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
unsigned int rank[ZSKIPLIST_MAXLEVEL];
int i, level;
redisAssert(!isnan(score));
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
/* store rank that is crossed to reach the insert position */
rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1];
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
(x->level[i].forward->score == score &&
compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0))) {
rank[i] += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
}
update[i] = x;
}
/* we assume the key is not already inside, since we allow duplicated
* scores, and the re-insertion of score and redis object should never
* happen since the caller of zslInsert() should test in the hash table
* if the element is already inside or not. */
level = zslRandomLevel();
if (level > zsl->level) {
for (i = zsl->level; i < level; i++) {
rank[i] = 0;
update[i] = zsl->header;
update[i]->level[i].span = zsl->length;
}
zsl->level = level;
}
x = zslCreateNode(level,score,obj);
for (i = 0; i < level; i++) {
x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward;
update[i]->level[i].forward = x;
/* update span covered by update[i] as x is inserted here */
x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]);
update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1;
}
/* increment span for untouched levels */
for (i = level; i < zsl->level; i++) {
update[i]->level[i].span++;
}
x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0];
if (x->level[0].forward)
x->level[0].forward->backward = x;
else
zsl->tail = x;
zsl->length++;
return x;
}
因为Redis中的跳跃表加入了层跨度的概念，因此比常规的跳跃表插入稍微复杂一些。这里主要使用了update和rank辅助数组（常规跳跃表的插入只需要update数组）。其中，update数组记录插入结点在每层上的前驱结点，而rank数组则记录该结点在跳跃表中的排名，这里表头（伪）结点排名为0，以此类推。结点的排名，等于查找该结点时，之前所遍历过的结点的层跨度之和。
下图是一个简化的跳跃表，每个结点只保留了分数、层指针和层跨度。所以，下图中表头结点排名为0，分数为1、3、10、15、20的结点，排名分别为1、2、3、4、5。
首先看插入代码的第一部分，也就是寻找插入结点在每层上的前驱结点的代码：
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
/* store rank that is crossed to reach the insert position */
rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1];
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
(x->level[i].forward->score == score &&
compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0))) {
rank[i] += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
}
update[i] = x;
}
从表头结点的最高层开始查找，首先在该层中寻找插入结点的前驱结点。只要插入结点比当前结点x在该层的后继结点x->level[i].forward要大，则首先记录x后继结点的排名：rank[i] += x->level[i].span; 接着开始比较x的后继结点：x =x->level[i].forward。
注意，因为Redis中的跳跃表中，允许分数重复而不允许成员对象重复。所以，这里的判断条件中，一旦分数相同，则要比较成员对象的字典顺序。
一旦当前结点x的后继结点为空，或者后继结点比插入结点要大，说明找到了插入结点在该层的前驱结点，记录到update数组中：update[i] = x，此时，rank[i]就是结点x的排名。
然后，开始遍历下一层，从x结点开始比较。
在上图的跳跃表中，假设现在要插入的结点分数为17，黄色虚线所标注的，就是插入新结点的位置。下面标注红色的，就是在每层找到的插入结点的前驱结点，记录在update[i]中，而rank[i]记录了update[i]在跳跃表中的排名，因此，rank[4] = 3, rank[3] = 3, rank[2] = 4, rank[1] = 4, rank[0] = 4。
剩下的代码就是将结点插入到跳跃表中，首先是：
level = zslRandomLevel();
if (level > zsl->level) {
for (i = zsl->level; i < level; i++) {
rank[i] = 0;
update[i] = zsl->header;
update[i]->level[i].span = zsl->length;
}
zsl->level = level;
}
首先利用zslRandomLevel，生成一个随机的层数level。如果该level大于当前跳跃表的最大level的话，则需要初始化插入结点在超出层上，也就是在层数[zsl->level, level)上的前驱结点及其排名。这里直接初始化前驱结点为头结点，排名为0，并且初始化前驱结点在相应层上的层跨度为zsl->length，也就是头结点和尾节点之间的距离。
然后更新zsl->level的值。需要注意的是，因Redis中，使用哈希表和跳跃表两种结构表示有序集合，因此，在跳跃表的插入操作中，无需判断插入结点是否与表中结点重复，这是因为在调用zslInsert之前，调用者应该已经使用哈希表进行过检测了。
接下来：
x = zslCreateNode(level,score,obj);
for (i = 0; i < level; i++) {
x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward;
update[i]->level[i].forward = x;
/* update span covered by update[i] as x is inserted here */
x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]);
update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1;
}
/* increment span for untouched levels */
for (i = level; i < zsl->level; i++) {
update[i]->level[i].span++;
}
首先调用zslCreateNode创建一个跳跃表节点。然后在层数[0, level)中，根据update[i]记录的每层上的前驱结点，将新结点插入到每层中。
接着更新每层上，新结点及其前驱结点的层跨度。节点的层跨度，等于该节点在第i层上的后继节点的排名，减去该节点的排名。
新结点在第i层的后继节点，也就是之前update[i]的后继节点，它的排名是update[i]->level[i].span+ rank[i]，插入新结点之后，它的排名加1，也就是update[i]->level[i].span + rank[i] + 1。新结点的排名，就是rank[0]+ 1，因此，新结点在第i层的层跨度就是(update[i]->level[i].span + rank[i] + 1) – (rank[0] + 1)，也就是update[i]->level[i].span- (rank[0] - rank[i])。
前驱结点update[i]的层跨度，等于新结点的排名rank[0]+ 1，减去update[i]的排名rank[i]，也就是(rank[0] + 1) - rank[i]，也就是(rank[0] -rank[i]) + 1。
针对新增的层数，也就是在[原zsl->level,level)的层中，新结点在层i中的后继结点，就相当于尾结点，尾结点的排名，在插入新结点后，就是zsl-> length + 1。所以，这些层中，新结点的层跨度为(zsl->length + 1) – (rank[0] + 1)，因这些层中的前驱结点update[i]的层跨度初始化为zsl->length，排名rank[i]为0，因此新结点的层跨度(zsl->length+ 1) – (rank[0] + 1)等于update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i])。而且，前驱结点update[i]的层跨度，也就等于(rank[0]- rank[i]) + 1。这也就是为什么在超出层中，初始化rank[i]为0，update[i]->level[i].span为zsl->length的原因了。
最后，如果新结点层数level小于zsl->level，则在[level,zsl->level)中，所有找到的前驱结点的层跨度要加1.
因此，插入新结点17后，效果如下：
最后，就是更新新结点x，及其后继节点的前驱指针。并更新跳跃表的长度。
x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0];
if (x->level[0].forward)
x->level[0].forward->backward = x;
else
zsl->tail = x;
zsl->length++;
3：获取节点的排名
unsigned long zslGetRank(zskiplist *zsl, double score, robj *o) {
zskiplistNode *x;
unsigned long rank = 0;
int i;
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
(x->level[i].forward->score == score &&
compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,o) <= 0))) {
rank += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
}
/* x might be equal to zsl->header, so test if obj is non-NULL */
if (x->obj && equalStringObjects(x->obj,o)) {
return rank;
}
}
return 0;
}
从跳跃表zsl中，得到分数为score，成员为o的结点的排名。若找到了该节点，则返回该结点的排名；没找到返回0。
该函数从头结点的最高层开始，寻找每层上最后一个小于等于寻找结点的结点，找到之后，判断该结点是否就是要寻找的结点。若是则返回其排名，不是则接着从下一层开始寻找，直到level[0]。
有关跳跃表的其他代码解析，可以参阅：
https://github.com/gqtc/redis-3.0.5/blob/master/redis-3.0.5/src/t_zset.c
参考：
http://dsqiu.iteye.com/blog/1705530
http://blog.csdn.net/ict2014/article/details/17394259
http://blog.csdn.net/kisimple/article/details/38706729