具体数学-第7课（取整基础）

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首先声明一下，最近这段时间忙毕设，没时间更新博客了，大家见谅。

今天这节课开始讲解取整相关知识，主要是数论相关的了。

符号定义

向下取整函数 $leftlfloor x ight floor$ 定义为小于等于 $x$ 的最大整数。
向上取整函数 $leftlceil x ight ceil$ 定义为大于等于 $x$ 的最小整数。
${ x}$ 定义为实数 $x$ 的小数部分，即
${ x} = x - leftlfloor x ight floor$

性质

性质1

$leftlceil x ight ceil - leftlfloor x ight floor = [x in mathbb{Z}]$

性质2

取整函数范围：
$x - 1 < leftlfloor x ight floor le x le leftlceil x ight ceil < x + 1$

性质3

负数的取整：
$egin{array}{l}leftlfloor { - x} ight floor = - leftlceil x ight ceil \leftlceil { - x} ight ceil = - leftlfloor x ight floor end{array}$

性质4

取整函数中的整数可以提取出来：
$leftlfloor {x + n} ight floor = leftlfloor x ight floor + n$

应用

应用1

证明：
$leftlfloor {sqrt {leftlfloor x ight floor } } ight floor = leftlfloor {sqrt x } ight floor$

更一般的，我们还可以证明，对于任意连续、递增的函数 $f(x)$ ，如果它满足
$f(x) in mathbb{Z} Rightarrow x in mathbb{Z}$
那么有
$egin{array}{l}leftlfloor {f(x)} ight floor = leftlfloor {f(leftlfloor x ight floor )} ight floor \leftlceil {f(x)} ight ceil = leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil end{array}$

我们证明第2个式子，第1个同理可证。

如果 $x = leftlceil x ight ceil$ ，显然成立。

否则 $x < leftlceil x ight ceil$ ，因为 $f(x)$ 递增，所以有
$f(x) < f(leftlceil x ight ceil )$
两边同时取整，有
$leftlceil {f(x)} ight ceil le leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil$
要证左右两边相等，那么只要证
$leftlceil {f(x)} ight ceil < leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil$
不成立即可。假设上式成立，那么由中间值定理，一定存在 $x le y < leftlceil x ight ceil$ ，使得
$f(y) = leftlceil {f(x)} ight ceil$
敲黑板！！这里是怎么来的呢？
由下图可以看出，当下面式子成立时，满足中间值定理
$f(x) < leftlceil {f(x)} ight ceil < f(leftlceil x ight ceil )$
但是在这里，我们假设是
$leftlceil {f(x)} ight ceil < leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil$
那么由 $leftlceil {f(x)} ight ceil < leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil$ 能否推出 $leftlceil {f(x)} ight ceil < f(leftlceil x ight ceil )$ 呢？当然是可以的。
$egin{array}{l}leftlceil {f(x)} ight ceil < leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil \ Rightarrow leftlceil {f(x)} ight ceil le leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil - 1 < f(leftlceil x ight ceil )end{array}$

所以
$f(y) in mathbb{Z} Rightarrow y in mathbb{Z}$
又因为 $x le y < leftlceil x ight ceil$ ，所以不存在整数 $y$ ，矛盾！

所以证得
$leftlceil {f(x)} ight ceil = leftlceil {f(leftlceil x ight ceil )} ight ceil$

另一个特殊的例子是
$leftlfloor {frac{ {x + m}}{n}} ight floor = leftlfloor {frac{ {leftlfloor x ight floor + m}}{n}} ight floor$
其中 $m$ 和 $n$ 都是整数，并且 $n$ 是正整数。

应用2

接着介绍区间相关的性质。

求1到1000中使得下列式子成立的 $n$ 一共有多少个？
$leftlfloor {sqrt[3]{n}} ight floor |n$
求解方法如下：
$egin{array}{l}W{ m{ = }}sumlimits_{1 le n le 1000} {left[ {leftlfloor {sqrt[3]{n}} ight floor |n} ight]} \ = sumlimits_{k,n} {left[ {k = leftlfloor {sqrt[3]{n}} ight floor } ight]left[ {k|n} ight]left[ {1 le n le 1000} ight]} \ = sumlimits_{k,m,n} {left[ { {k^3} le n < { {(k + 1)}^3}} ight]left[ {n = km} ight]} left[ {1 le n le 1000} ight]\ = 1 + sumlimits_{k,m} {left[ { {k^3} le km < { {(k + 1)}^3}} ight]} left[ {1 le k < 10} ight]\ = 1 + sumlimits_{k,m} {left[ {m in [{k^2},{ {(k + 1)}^3}/k)} ight]} left[ {1 le k < 10} ight]\ = 1 + sumlimits_{1 le k < 10} {(leftlceil { {k^2} + 3k + 3 + 1/k} ight ceil - leftlceil { {k^2}} ight ceil )} \ = 1 + sumlimits_{1 le k < 10} {(3k + 4)} \ = 172end{array}$

继续推广，求1到 $N$ 中使得上面式子成立的 $n$ 有多少个？
令
$K = leftlfloor {sqrt[3]{N}} ight floor$
也就是小于等于 $leftlfloor {sqrt[3]{N}} ight floor$ 的最大整数。
所以
$egin{array}{l}W = sumlimits_{1 le k < K} {(3k + 4)} + sumlimits_m {left[ { {K^3} le Km le N} ight]} \ = leftlfloor {N/K} ight floor + frac{1}{2}{K^2} + frac{5}{2}K - 3end{array}$
渐进地等于
$W = frac{3}{2}{N^{2/3}} + O({N^{1/3}})$

应用3

定义一个实数的谱为：
$Spec(alpha ) = { leftlfloor alpha ight floor ,leftlfloor {2alpha } ight floor ,leftlfloor {3alpha } ight floor , ldots }$

很容易证明如果两个实数 $alpha e eta$ ，那么
$Spec(alpha ) e Spec(eta )$

假设 $alpha < eta$ ，那么令
$m(eta - alpha ) ge 1$
所以
$meta ge malpha + 1 Rightarrow leftlfloor {meta } ight floor > leftlfloor {malpha } ight floor$
所以集合 $Spec(eta )$ 中小于 $leftlfloor {malpha } ight floor$ 的元素个数小于 $m$ 。而集合 $Spec(alpha )$ 中小于 $leftlfloor {malpha } ight floor$ 的元素个数大于等于 $m$ 。所以两个集合不相等。

谱有很多奇妙的性质，例如下面两个谱：
$egin{array}{l}Spec(sqrt 2 ) = { leftlfloor {sqrt 2 } ight floor ,leftlfloor {2sqrt 2 } ight floor ,leftlfloor {3sqrt 2 } ight floor , ldots } \Spec(2{ m{ + }}sqrt 2 ) = { leftlfloor {2{ m{ + }}sqrt 2 } ight floor ,leftlfloor {2(2{ m{ + }}sqrt 2 )} ight floor ,leftlfloor {3(2{ m{ + }}sqrt 2 )} ight floor , ldots } end{array}$
可以发现，这两个谱正好划分了正整数集。
证明方法也很简单，只要证明对任意正整数 $n$ ，两个集合中小于 $n$ 的元素个数之和为 $n$ ，过程如下：
$egin{array}{l}leftlfloor {ksqrt 2 } ight floor le n\ Rightarrow ksqrt 2 < n + 1\ Rightarrow k < frac{ {n + 1}}{ {sqrt 2 }}end{array}$
所以第一个集合中小于 $n$ 的元素个数为
$leftlfloor {frac{ {n + 1}}{ {sqrt 2 }}} ight floor$
同理第二个集合中小于 $n$ 的元素个数为
$leftlfloor {frac{ {n + 1}}{ {2 + sqrt 2 }}} ight floor$
所以总个数为
$egin{array}{l}leftlfloor {frac{ {n + 1}}{ {sqrt 2 }}} ight floor + leftlfloor {frac{ {n + 1}}{ {2 + sqrt 2 }}} ight floor \ = leftlfloor {frac{ {sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor + leftlfloor {frac{ {2 - sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor \ = n + 1 + leftlfloor {frac{ {sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor + leftlfloor { - frac{ {sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor \ = n + 1 + leftlfloor {frac{ {sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor + leftlfloor {frac{ {sqrt 2 }}{2}(n + 1)} ight floor - 1\ = nend{array}$
得证。