错排问题

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令

的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。

我们从分析1 2 3 4的错排开始：

1 2 3 4的错排有:

4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，

3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，

2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

第一列是4分别与123互换位置，其余两个元素错排。

1 2 3 4->4 3 2 1，

1 2 3 4->3 4 1 2，

1 2 3 4-> 2 1 4 3

第2列是4分别与312（123的一个错排）的每一个数互换

3 1 2 4->4 1 2 3，

3 1 2 4->3 4 2 1，

3 1 2 4->3 1 4 2

第三列则是由另一个错排231和4换位而得到

2 3 1 4->4 3 1 2，

2 3 1 4->2 4 1 3，

2 3 1 4->2 3 4 1

上面的分析结果，实际上是给出一种产生错排的结果。

为求其递推关系，分两步走：

第一步，考虑第n个元素，把它放在某一个位置，比如位置k，一共有n-1种放法；

第二步，考虑第k个元素，这时有两种情况：（1）把它放到位置n，那么对于除n以外的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，所以剩下n-2个元素的错排即可，有种放法；（2）第k个元素不放到位置n，这时对于这n-1个元素的错排，有

种放法。

根据乘法和加法法则，综上得到

特殊地，。

此外，存在

因此，

。