在有理数(或实数，或复数)集内(这一前提还是很重要的)，n元线性方程组解的情况有且只有三种情况：(1)无解；(2)唯一解；(3)无穷解。
可以通过两条直线(“直线”对应代数中的“线性”)的关系加以理解：两条直线要么平行(对应无解)，要么相交(对应唯一解)，要么重合(对应无穷解)。
可以通过对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，得到最简行阶梯矩阵，据此可以判断线性方程组解的情况。何谓初等行变换呢？
- 把一行的倍数加到另一行
- 现行互换
- 一行乘以一个非0常数
何谓最简行阶梯矩阵？它的特点是：
- 它是阶梯形矩阵
- 每个非零行的主元都是1
- 每个主元所在列的其余元素都是0
与之对应的方程组为
上面的最简行阶梯矩阵中，红框中的元即为主元，或称主变量。方程组可写为：
这个表达式称为原线性方程线的一般解，其中以主元为系数的未知量 $ x_1$ ， $x_3$ 称为主变量，而其余未矢量 $x_2$称为自由未知量。一般解就是用含自由未知量的式子来表示主变量。
定理1 n元线性方程组的解的情况只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解。把n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯矩阵，如果相应的阶梯形方程出现"0=d(其中d是非零数"这样的方程，则原方程组无解；否则，有解。当有解时，如果阶梯形矩阵的非零行数目r等于未知量数目n，则原方程组有唯一解；如果非零行数目r<n，则原方程组有无穷个解。如果一个线性方程组有解，则称它是相容的；否则，称它是不相容的。
下述线性方程组有什么特点？它是否一定有解？
上面的线性方程组的每个方程的常数项都为0。常数项全为0的线性方程组称为齐次线性方程组。显然(0,0,0,0)是齐次线性方程组的一个解，这个解称为零解。任何一个齐次线性方程组都有零解。如果一个齐次线性方程组除了零解外，还有其它的解，则称其它解为非零解。由于线性方程组要么无解，要么有唯一解，要么有无穷解，而齐次线性方程组又必有零解，则若还有其它非零解，则必有无穷多个解。
如何判断一个齐次线性方程组有没有非零解？运用定理1便得出
推论2 n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r<n。
从推论2中又可得到
推论3 n元齐次线性方程组如果方程的数目s<n，那么它一定有非零解。
数域的概念
要讨论线性方程组的解，确定解的取值范围是重要的，例如2x=1在整数集中则无解，而在有理数集中有解。而解方程时，经常会用到加、减、乘、除运算，因此为了使初等行变换能畅通无阻地施行，就应当要求所考虑的数集对于加、减、乘、除法(除数不为0)都封闭。即该数集内任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍属于这个数集。
定义1 设K是复数集的一个子集，如果K满足：
(1)0、1∈K；
(2)对于任意的a,b∈K，都有a±b、ab∈K；并且当b≠0时，有a/b∈K，那么称K是一个数域。
数域K满足第(2)个条件可以说成：K对于加、减、乘、除4种运行封闭。
显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，分别称为Q，R，C是有理数域，实数域，复数域。但是整数集Z不是数域。除了Q，R，C外，还有许多数域，其中有理数域是最小的数域，复数域是最大的数域。
通过对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，得到阶梯形矩阵，由此可以判定线性方程组解的情况，这一做法并不高明，其它相当于通过求解之后再来判断解的情况。有没有别的方法呢？先研究两个方程的二元一次方程组:
其中 $a_{11}$， $a_{21}$不全为0，不妨设 $a_{11}\neq 0 $。将它的增广矩阵进行初等行变化成阶梯形矩阵：
情形1 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$。此时原方程组有唯一解
情形2 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0$。此时原方程组无解或者有无穷多个解。
综上所述得出
命题1 两个方程的二元一次方程组有唯一解的充分必要条件是： $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$。为了便于记忆表达式 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$，我们把它记成
表达式 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$称为二阶行列式。看来，通过线性方程组系数的行列式可以判断方程组解的情况，这就是下讲的内容了。