最大似然估计(Maximumlikelihood Estimation,MLE)

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最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。

预备知识

下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。同时，还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。

最大似然估计的原理

给定一个概率分布 $D$ ，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为 $f_D$ ，以及一个分布参数 $\theta$ ，我们可以从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，通过利用 $f_D$ ，我们就能计算出其概率：

$\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

但是，我们可能不知道 $\theta$ 的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布 $D$ 。那么我们如何才能估计出 $\theta$ 呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1, X_2, ..., X_n$ ，然后用这些采样数据来估计 $\theta$ .

一旦我们获得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能从中找到一个关于 $\theta$ 的估计。最大似然估计会寻找关于 $\theta$ 的最可能的值（即，在所有可能的 $\theta$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如 $\theta$ 的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的 $\theta$ 值。

要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:

$\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

并且在 $\theta$ 的所有取值上，使这个函数最大化。这个使可能性最大的 $\widehat{\theta}$ 值即被称为 $\theta$ 的最大似然估计。

注意

这里的似然函数是指 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 不变时，关于 $\theta$ 的一个函数。
最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。

例子

离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为 $p$ ，抛出一个反面的概率记为 $1-p$ （因此，这里的 $p$ 即相当于上边的 $\theta$ ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 $p=1/3$ , $p=1/2$ , $p=2/3$ .这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

$\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}$

我们可以看到当 $\widehat{p}=2/3$ 时，似然函数取得最大值。这就是 $p$ 的最大似然估计。

由上可知最大似然估计的一般求解过程：

　写出似然函数；
　对似然函数取对数，并整理；
　求导数；
　解似然方程。

注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与最大后验概率估计不同。