本博文来自于 《动手学深度学习》 本博文只是记录学习笔记，方便日后查缺补漏，如有侵权，联系删除
线性回归的从零开始实现
在了解了线性回归的背景知识之后，现在可以动手实现它了。尽管强大的深度学习框架可以减少大量重复性工作，但若过于依赖它提供的便利，会导致我们很难深入理解深度学习是如何工作的。因此，本节将介绍如何只利用NDArray和autograd来实现一个线性回归的训练。
首先，导入本节中实验所需的包或模块，其中的matplotlib包可用于作图，且设置成嵌入显示。
%matplotlib inline
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
from mxnet import autograd, nd
import random
生成数据集
我们构造一个简单的人工训练数据集，它可以使我们能够直观比较学到的参数和真实的模型参数的区别。设训练数据集样本数为1000，输入个数（特征数）为2。给定随机生成的批量样本特征(oldsymbol{X} in mathbb{R}^{1000 imes 2})，我们使用线性回归模型真实权重(oldsymbol{w} = [2, -3.4]^ op)和偏差(b = 4.2)，以及一个随机噪声项(epsilon)来生成标签
其中噪声项(epsilon)服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。噪声代表了数据集中无意义的干扰。下面，让我们生成数据集。
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
注意，features的每一行是一个长度为2的向量，而labels的每一行是一个长度为1的向量（标量）。
features[0], labels[0]
(
[1.1630785 0.4838046]
<NDArray 2 @cpu(0)>,
[4.879625]
<NDArray 1 @cpu(0)>)
通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图，可以更直观地观察两者间的线性关系。
def use_svg_display():
# 用矢量图显示
display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
use_svg_display()
# 设置图的尺寸
plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1); # 加分号只显示图
我们将上面的plt作图函数以及use_svg_display函数和set_figsize函数定义在d2lzh包里。以后在作图时，我们将直接调用d2lzh.plt。由于plt在d2lzh包中是一个全局变量，我们在作图前只需要调用d2lzh.set_figsize()即可打印矢量图并设置图的尺寸。
读取数据集
在训练模型的时候，我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数：它每次返回batch_size（批量大小）个随机样本的特征和标签。
# 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
def data_iter(batch_size, features, labels):
num_examples = len(features)
indices = list(range(num_examples))
random.shuffle(indices) # 样本的读取顺序是随机的
for i in range(0, num_examples, batch_size):
j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
yield features.take(j), labels.take(j) # take函数根据索引返回对应元素
让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2)，分别对应批量大小和输入个数；标签形状为批量大小。
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
print(X, y)
break
[[ 0.21308574 0.13773239]
[-0.7808355 -0.5344644 ]
[ 1.0059307 -0.41143978]
[-0.7230168 0.88875777]
[ 0.54754204 -0.89240056]
[ 1.3458539 1.3153399 ]
[-1.4248496 1.634742 ]
[ 0.09671763 -0.6283186 ]
[ 0.06373069 -0.12645188]
[ 0.6770596 -2.5028148 ]]
<NDArray 10x2 @cpu(0)>
[ 4.1537848 4.455289 7.6126523 -0.2697006 8.332248 2.423565
-4.2019567 6.5207925 4.752663 14.064407 ]
<NDArray 10 @cpu(0)>
初始化模型参数
我们将权重初始化成均值为0、标准差为0.01的正态随机数，偏差则初始化成0。
w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
b = nd.zeros(shape=(1,))
之后的模型训练中，需要对这些参数求梯度来迭代参数的值，因此我们需要创建它们的梯度。
w.attach_grad()
b.attach_grad()
定义模型
下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用dot函数做矩阵乘法。
def linreg(X, w, b): # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
return nd.dot(X, w) + b
定义损失函数
我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中，我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。
def squared_loss(y_hat, y): # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
定义优化算法
以下的sgd函数实现了上一节中介绍的小批量随机梯度下降算法。它通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和。我们将它除以批量大小来得到平均值。
def sgd(params, lr, batch_size): # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
for param in params:
param[:] = param - lr * param.grad / batch_size
训练模型
在训练中，我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中，我们根据当前读取的小批量数据样本（特征X和标签y），通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度，并调用优化算法sgd迭代模型参数。由于我们之前设批量大小batch_size为10，每个小批量的损失l的形状为(10, 1)。回忆一下“自动求梯度”一节。由于变量l并不是一个标量，运行l.backward()将对l中元素求和得到新的变量，再求该变量有关模型参数的梯度。
在一个迭代周期（epoch）中，我们将完整遍历一遍data_iter函数，并对训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设3和0.03。在实践中，大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。虽然迭代周期数设得越大模型可能越有效，但是训练时间可能过长。我们会在后面“优化算法”一章中详细介绍学习率对模型的影响。
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
for epoch in range(num_epochs): # 训练模型一共需要num_epochs个迭代周期
# 在每一个迭代周期中，会使用训练数据集中所有样本一次（假设样本数能够被批量大小整除）。X
# 和y分别是小批量样本的特征和标签
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
with autograd.record():
l = loss(net(X, w, b), y) # l是有关小批量X和y的损失
l.backward() # 小批量的损失对模型参数求梯度
sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数
train_l = loss(net(features, w, b), labels)
print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().asnumpy()))
epoch 1, loss 0.035194
epoch 2, loss 0.000120
epoch 3, loss 0.000048
训练完成后，我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。
true_w, w
([2, -3.4],
[[ 1.9993881]
[-3.399913 ]]
<NDArray 2x1 @cpu(0)>)
true_b, b
(4.2,
[4.200307]
<NDArray 1 @cpu(0)>)
小结
- 可以看出，仅使用
NDArray和autograd模块就可以很容易地实现一个模型。接下来，会在此基础上描述更多深度学习模型，并介绍怎样使用更简洁的代码（见下一节）来实现它们。
练习
- 为什么
squared_loss函数中需要使用reshape函数？ - 尝试使用不同的学习率，观察损失函数值的下降快慢。
- 如果样本个数不能被批量大小整除，
data_iter函数的行为会有什么变化？
线性回归的简洁实现
随着深度学习框架的发展，开发深度学习应用变得越来越便利。实践中，我们通常可以用比上一节更简洁的代码来实现同样的模型。在本节中，我们将介绍如何使用MXNet提供的Gluon接口更方便地实现线性回归的训练。
生成数据集
我们生成与上一节中相同的数据集。其中features是训练数据特征，labels是标签。
from mxnet import autograd, nd
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
读取数据集
Gluon提供了data包来读取数据。由于data常用作变量名，我们将导入的data模块用添加了Gluon首字母的假名gdata代替。在每一次迭代中，我们将随机读取包含10个数据样本的小批量。
from mxnet.gluon import data as gdata
batch_size = 10
# 将训练数据的特征和标签组合
dataset = gdata.ArrayDataset(features, labels)
# 随机读取小批量
data_iter = gdata.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
这里data_iter的使用与上一节中的一样。让我们读取并打印第一个小批量数据样本。
for X, y in data_iter:
print(X, y)
break
[[ 0.27629048 0.00236695]
[ 1.4526376 2.131333 ]
[-0.37976772 0.71671826]
[-0.49162972 -1.0730255 ]
[ 0.2311468 -0.5463758 ]
[ 0.17943777 1.3990828 ]
[-0.5599185 -0.1873703 ]
[-1.6635175 0.25828022]
[ 1.0597942 -0.7500004 ]
[-1.444735 -0.6828681 ]]
<NDArray 10x2 @cpu(0)>
[ 4.7376227 -0.13999683 1.002221 6.872473 6.524872 -0.20697819
3.704571 -0.02414168 8.884573 3.6316695 ]
<NDArray 10 @cpu(0)>
定义模型
在上一节从零开始的实现中，我们需要定义模型参数，并使用它们一步步描述模型是怎样计算的。当模型结构变得更复杂时，这些步骤将变得更烦琐。其实，Gluon提供了大量预定义的层，这使我们只需关注使用哪些层来构造模型。下面将介绍如何使用Gluon更简洁地定义线性回归。
首先，导入nn模块。实际上，“nn”是neural networks（神经网络）的缩写。顾名思义，该模块定义了大量神经网络的层。我们先定义一个模型变量net，它是一个Sequential实例。在Gluon中，Sequential实例可以看作是一个串联各个层的容器。在构造模型时，我们在该容器中依次添加层。当给定输入数据时，容器中的每一层将依次计算并将输出作为下一层的输入。
from mxnet.gluon import nn
net = nn.Sequential()
回顾图3.1中线性回归在神经网络图中的表示。作为一个单层神经网络，线性回归输出层中的神经元和输入层中各个输入完全连接。因此，线性回归的输出层又叫全连接层。在Gluon中，全连接层是一个Dense实例。我们定义该层输出个数为1。
net.add(nn.Dense(1))
值得一提的是，在Gluon中我们无须指定每一层输入的形状，例如线性回归的输入个数。当模型得到数据时，例如后面执行net(X)时，模型将自动推断出每一层的输入个数。我们将在之后“深度学习计算”一章详细介绍这种机制。Gluon的这一设计为模型开发带来便利。
初始化模型参数
在使用net前，我们需要初始化模型参数，如线性回归模型中的权重和偏差。我们从MXNet导入init模块。该模块提供了模型参数初始化的各种方法。这里的init是initializer的缩写形式。我们通过init.Normal(sigma=0.01)指定权重参数每个元素将在初始化时随机采样于均值为0、标准差为0.01的正态分布。偏差参数默认会初始化为零。
from mxnet import init
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))
定义损失函数
在Gluon中，loss模块定义了各种损失函数。我们用假名gloss代替导入的loss模块，并直接使用它提供的平方损失作为模型的损失函数。
from mxnet.gluon import loss as gloss
loss = gloss.L2Loss() # 平方损失又称L2范数损失
定义优化算法
同样，我们也无须实现小批量随机梯度下降。在导入Gluon后，我们创建一个Trainer实例，并指定学习率为0.03的小批量随机梯度下降（sgd）为优化算法。该优化算法将用来迭代net实例所有通过add函数嵌套的层所包含的全部参数。这些参数可以通过collect_params函数获取。
from mxnet import gluon
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': 0.03})
训练模型
在使用Gluon训练模型时，我们通过调用Trainer实例的step函数来迭代模型参数。上一节中我们提到，由于变量l是长度为batch_size的一维NDArray，执行l.backward()等价于执行l.sum().backward()。按照小批量随机梯度下降的定义，我们在step函数中指明批量大小，从而对批量中样本梯度求平均。
num_epochs = 3
for epoch in range(1, num_epochs + 1):
for X, y in data_iter:
with autograd.record():
l = loss(net(X), y)
l.backward()
trainer.step(batch_size)
l = loss(net(features), labels)
print('epoch %d, loss: %f' % (epoch, l.mean().asnumpy()))
epoch 1, loss: 0.035121
epoch 2, loss: 0.000125
epoch 3, loss: 0.000049
下面我们分别比较学到的模型参数和真实的模型参数。我们从net获得需要的层，并访问其权重（weight）和偏差（bias）。学到的参数和真实的参数很接近。
dense = net[0]
true_w, dense.weight.data()
([2, -3.4],
[[ 1.9994348 -3.3995006]]
<NDArray 1x2 @cpu(0)>)
true_b, dense.bias.data()
(4.2,
[4.2002063]
<NDArray 1 @cpu(0)>)
小结
- 使用Gluon可以更简洁地实现模型。
- 在Gluon中，
data模块提供了有关数据处理的工具，nn模块定义了大量神经网络的层，loss模块定义了各种损失函数。 - MXNet的
initializer模块提供了模型参数初始化的各种方法。
练习
- 如果将
l = loss(net(X), y)替换成l = loss(net(X), y).mean()，我们需要将trainer.step(batch_size)相应地改成trainer.step(1)。这是为什么呢？ - 查阅MXNet文档，看看
gluon.loss和init模块里提供了哪些损失函数和初始化方法。 - 如何访问
dense.weight的梯度？