【Leetcode】课程表（拓扑排序）

题目：

基于宽度优先搜索的拓扑排序

思路：

这个问题相当查找有向图中是否存在环。逐个删除入度为0的节点，当删除的节点数量等于输入的所有节点数量时，判定不存在环。

拓扑排序最好使用邻接链表存储邻接关系，而非使用邻接矩阵。因为邻接链表在能够非常直接查找到邻接节点，查找操作耗时O(m+n)，而邻接矩阵需要进行遍历才能查找到邻接节点，查找操作耗时O(n^2)。其中n为节点数量，m为边的数量。

本算法的时间复杂度和空间复杂度都比较大，原因在于创建了邻接矩阵存储邻接关系。导致在查找邻接关系的时候，需要进行遍历操作，时间复杂度为O（n^2）。

执行用时 :60 ms, 在所有 cpp 提交中击败了32.55%的用户

内存消耗 :81.6 MB, 在所有 cpp 提交中击败了5.21%的用户

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        if(prerequisites.size() == 0)
            return true;
        
        vector< vector<int> > mat( numCourses, vector<int>(numCourses,0) );
        vector<int> numR(numCourses, 0);
        vector<int> stack(numCourses, 0);
        vector<int> tIn;
        int top = 0, count = 0;
        
        for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            tIn = prerequisites[i];
            mat[tIn[1]][tIn[0]] = 1;
            numR[tIn[0]] += 1;
        }
        
        for(int j = 0; j < numCourses; ++j) {
            if(numR[j] == 0) {
                stack[top++] = j;
            }
        }
        
        while(top > 0) {
            int gettop = stack[--top];
            count += 1;
            
            for(int k = 0; k < numCourses; ++k) {
                if(mat[gettop][k] == 1) {
                    numR[k] -= 1;
                    
                    if(numR[k] == 0)
                        stack[top++] = k;
                }
            }
        }
        
        if(count == numCourses )
            return true;
        else
            return false;
    }
};

对上述算法进行改进。将邻接矩阵换成邻接链表。时间复杂度为O（m+n），耗时大大缩小。

执行用时 :24 ms, 在所有 cpp 提交中击败了93.35%的用户

内存消耗 :12.9 MB, 在所有 cpp 提交中击败了19.07%的用户

注意，这里巧妙使用vector<vector<int>>数据类型创建了“邻接链表”。

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        if(prerequisites.size() == 0)
            return true;
        
        vector< vector<int> > mat(numCourses);
        vector<int> numR(numCourses, 0);
        vector<int> stack(numCourses, 0);
        vector<int> tIn;
        int top = 0, count = 0;
        
        for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            tIn = prerequisites[i];
            mat[tIn[1]].push_back(tIn[0]);
            numR[tIn[0]] += 1;
        }
        
        for(int j = 0; j < numCourses; ++j) {
            if(numR[j] == 0) {
                stack[top++] = j;
            }
        }
        
        while(top > 0) {
            int gettop = stack[--top];
            count += 1;
            
            for(int k = 0; k < mat[gettop].size(); ++k) {
                numR[mat[gettop][k]] -= 1;
                
                if(numR[mat[gettop][k]] == 0)
                    stack[top++] = mat[gettop][k];
            }
        }
        
        if(count == numCourses )
            return true;
        else
            return false;
    }
};

基于深度优先搜索的拓扑排序

时间复杂度：排序过程为O(n+m)，其中n为节点数量，m为边数量。构建邻接链表为O(m)。

空间复杂度：邻接链表占据空间为O(m)；标识数组占据空间为O(n)；递归过程的栈内存最大为O(n)，此时拓扑序列为一条链。

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        if(prerequisites.size() == 0)
            return true;
        
        vector< vector<int> > mat(numCourses);
        vector<int> flag(numCourses, 0);
        vector<int> tIn;
        
        for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            tIn = prerequisites[i];
            mat[tIn[1]].push_back(tIn[0]);
        }
        
        bool ans = true;
        for(int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            ans = ans&&dfsF(i, flag, mat); // 每一条路线不允许存在回路，所以是“&&”逻辑
        }
        return ans;
    }
    
    bool dfsF(int i, vector<int>& flag, const vector<vector<int> >& matC){
        if(flag[i] == 1)
            return true;
        
        if(flag[i] == -1)
            return false;
        
        flag[i] = -1;
        for(int j = 0; j < matC[i].size(); ++j) {
            if(dfsF(matC[i][j], flag, matC))
                continue;
            else 
                return false;
        }
        
        flag[i] = 1;
        return true;
    }
};