排序算法

注：完全搬自wikipedia，仅用于总结之用
冒泡排序

它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个相邻元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

时间复杂度：（平均/最坏） O(n²) 需要O(n)额外空间

void bubble_sort(int *arr, int len) {
    int i, j, temp;
    for (i = 0; i < len - 1; i++)
    {
            for (j = 0; j < len - 1 - i; j++)
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
        }
    }
}

选择排序

首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

时间复杂度：（平均/最坏） O(n²) 键的交换次数：O(n)

void selection_sort(int *arr, int len) {
    int i, j, min, temp;
    for (i = 0; i < len - 1; i++) {
        min = i;
        for (j = i + 1; j < len; j++)
        {
　　　　　　　if (arr[min] > arr[j])
                min = j;
        }//找出剩余未排序数组的最小值的位置
　　　　 temp = arr[min];
        arr[min] = arr[i];
        arr[i] = temp;
    }
}

插入排序

使用了减治法。通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。基于递归思想。从底至上使用迭代，效率会更高。

（对数组A[0 ... n-1] 进行排序，可以假设较小的A[0 ... n-2] 排序的问题已经解决了，得到一个大小为n-1的有序数组，所需要考虑的问题就是如何将元素A[n-1]插入有n-1个元素的有序数组。可以按照从右到左扫描此有序数组，选择合适的位置插入。显然，这是归。）

图示：

（署名：由Swfung8 - 自己的作品，CC BY-SA 3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14961606）

时间复杂度：（平均/最坏） O(n²)

void insertion_sort(int *A, int len) {
    int i, j;
    int temp;
    for (i = 1; i < len; i++) {
        temp = A[i]; //與已排序的數逐一比較，大於temp時，該數向後移
        for (j = i - 1; j >= 0 && A[j] > temp; j--) //判决条件中A[j]>temp是终止条件
            A[j + 1] = A[j];
        A[j+1] = temp; //被排序数放到正确的位置
    }
}

希尔排序

希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法，实质是分组插入排序。

希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：

插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率
但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位

一个更好理解的希尔排序实现：将数组列在一个表中并对列排序（用插入排序）。重复这过程，不过每次用更长的列来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身仅仅对原数组进行排序（通过增加索引的步长，例如是用i += step_size而不是i++）。

void shellSort(int* a,int n){
    int gap,i,j;
    int tmp;
    for(gap = n>>1;gap > 0; gap >>= 1)
        for(i = gap;i < n; i++){
            tmp = a[i];
            for(j = i- gap;j >= 0 && a[j] > tmp;j -= gap)
                a[j + gap] = a[j];
            a[j + gap] = tmp;
        }
}

归并排序

分治法：

　　1）将一个问题划分为同一类型的若干子问题，子问题最好规模相同。

　　2）对这些子问题求解（一般使用递归方法，但在问题规模足够小的时候，有时也会利用另一个算法）。

　　3）有必要的话，合并这些子问题的解，已得到原始问题的答案。

归并操作（merge），也叫归并算法，指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。归并排序算法依赖归并操作。

void merge(int *a, int first, int mid, int last)
{
    int i = first, j = mid + 1;
    int m = mid, n = last;
    int k = 0;
    int* b = (int*)malloc((last-first + 1)* sizeof(int));//注意：元素个数为last-first+1，而不是last-first
    if (b ==NULL)
    {
        printf("malloc error!
");
        return 0;
    }
    while (i <= m && j <= n)
        b[k++] = (a[i] <= a[j]) ? a[i++] : a[j++];
    while (i <= m)
        b[k++] = a[i++];
    while (j <= n)
        b[k++] = a[j++];
    for (i = first,k = 0; i <= last; i++,k++)
        a[i] = b[k];//注意：每次迭代first都是变化的，这个时候需要将数组b中的元素代会数组a，注意i的起始值
    free(b);//释放堆上的变量
}  //合并两个有序的序列

归并排序主要有两类主要的变化形式，首先，算法可以自底而上合并数组的一个个元素对，然后再合并这些有序对，以此类推（如果元素数量不算2的幂，算法的效率也没有质的变化）。这就避免了使用堆栈处理递归调用时的时间和空间开销，效率更高些，但可读性差，又称为二路合并排序。其次，可以把数组划分为待排序的多个部分，再对它们进行递归排序，最后将其合并在一起。

迭代法

申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针到达序列尾
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

空间复杂度：O(1)

递归法：

将序列每相邻两个数字进行归并操作，形成 $floor(n/2)$ 个序列，排序后每个序列包含两个元素
将上述序列再次归并，形成 $floor(n/4)$ 个序列，每个序列包含四个元素
重复步骤2，直到所有元素排序完毕

空间复杂度：O(n) + O(logn)

时间复杂度：（最好/平均/最坏） O(nlog2n)

//递归法（自顶而下法）
void mergesort(int* a, int first, int last)
{
    if (first < last)
    {
        int mid = (first + last) / 2;
        mergesort(a, first, mid);    //左边有序  
        mergesort(a, mid + 1, last); //右边有序  
        merge(a, first, mid, last); //再将二个有序数列合并  
    }
}

void mergeSort(int* a, int n)
{
    mergesort(a, 0, n - 1);
}

//迭代法（自底而上法）
void mergePass(int *a, int seg, int n) {
    int i = 0;
    // 归并seg长度的两个相邻子表
    for (i = 0; i + 2 * seg - 1 < n; i = i + 2 * seg) {
        Merge(a, i, i + seg - 1, i + 2 * seg - 1);
    }
// 余下两个子表，后者长度小于gap(考虑到奇数)
    if (i + gap - 1 < n) {
        merge(a, i, i + seg - 1, n - 1);
    }
}

void mergeSort(int* a) {
　　int seg;
　　for (seg = 1; seg < n; seg *= 2;) {
　　mergePass(a, seg, n);
}

参考blog：blog1 blog2

快速排序

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个序列（list）分为两个子序列（sub-lists）。

步骤为：

从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

快速排序是二叉查找树（二叉查找树）的一个空间最优化版本。不是循序地把数据项插入到一个明确的树中，而是由快速排序组织这些数据项到一个由递归调用所隐含的树中。这两个算法完全地产生相同的比较次数，但是顺序不同。对于排序算法的稳定性指标，原地分区版本的快速排序算法是不稳定的。其他变种是可以通过牺牲性能和空间来维护稳定性的。

时间复杂度：平均：O(ｎlogn）　最坏：Ｏ（ｎ^２）　空间：O(logn）

同样分为迭代实现和递归实现。代码为迭代实现：

//递归法实现快排
void swap(int * x,int * y){
    int * t = *x;
    *x = *y;
    *y = t;
}
void quickSort(int* a，int start,int end){
    if(start >= end)
        return;
    int mid = a[end];
    int left = start,right = end -1;
    while(left < right)
    {
        while(a[left] < mid && left < right)//选取mid作为基准点
            left++;
        while (a[right] >= mid && left < right)//注意：是大于等于
            right--;
        swap(&a[left], &a[right]);
    }
    if(a[lest] >= a[end])
        swap(a+left,a+end);
    else
        left++;
    quickSort(a,start,left-1);//注意：选择的基准不在参与迭代排序
    quickSort(a,left+1,end);
}
void quick_sort(int *a,int n)
{
    quickSort(a,0,n-1);
}

参考blog：blog1

堆排序

是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

时间复杂度：O(N*logN)

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

父节点i的左子节点在位置(2*i+1);
父节点i的右子节点在位置(2*i+2);
子节点i的父节点在位置floor((i-1)/2);

参考链接： blog1

排序算法

冒泡排序

选择排序

插入排序

快速排序

堆排序