动态规划之矩阵链相乘

题目:n个矩阵连乘，求最少的乘法运算次数以及结合方式

假设矩阵A为r1*r2,矩阵B为r2*r3，所以M=A*B=r1*r2*r3。当有多个矩阵相乘的时候，矩阵以不同的方式结合的时候其运算次数是不同的。

例如:M=M1 * M2 * M3 * M4

[5*20] [20*50] [50*1] [1*100]

((M1*M2)*M3)*M4=5000+250+500=5750

而M1*(M2*(M3*M4))=5000+100000+10000=115000

如果按照(M1*(M2*M3)*M4)=1000+100+500=1600

上面的例子说明根据不同的结合顺序，运算的次数是不同的。现在我们就是要求通过哪种顺序所进行的乘法运算次数最少,并且求出运算最少的次数是多少。

算法思想:

记Mi*Mi+1*Mi+2*...*Mj为mij,矩阵的大小为:M1为r1*r2,M2为r2*r3,M3为r3*r3,M4为r4*r5。r1,r2,r3,r4,r5分别为5,20,50,1,100.

(1)首先计算矩阵相乘个数为2的3种情况。

m12=M1*M2=r1*r2*r3=5000，m23=r2*rr*r4，m34=r3*r4*r5=1000,m34=5000

(2)计算相乘矩阵个数为3的2种情况

m13=M1*M2*M3,目标是求出m13的乘法运算次数最小值。m13=min{M1*m23+r1*r2*r4，m12*M3+r1*r3*r4}=min{1100，5250}=m12*M3+r1*r3*r4=1100

同理 m24=M2*M3*M4=min{M2*m34+r2*r3*r，m23*M4+r2*r4*r5}=min{10500,3000}=3000；

(3)最后计算相乘矩阵个数为4的最终结果：

m14=min(m13*M4+r1*r4*r5，m12*m34+r1*r3*r4，M1*m24+r1*r2*r5)={3000+10000 ，5000+5000,+25000,1100+500}=1600

算法如下

#include <iostream>

using namespace std;

int r[100],com[100][100];

int course(int i,int j)
{
    int u,t;
    if(i==j)
        return 0;
    if(i==j-1)
    {
        com[i][j]=i;
        return r[i]*r[i+1]*r[i+2];
    }
    else
    {
        u=course(i,i)+course(i+1,j)+r[i]*r[i+1]*r[j+1];
        com[i][j]=i;
        for(int k=i;k<j;k++)
        {
            t=course(i,k)+course(k+1,j)+r[i]*r[k+1]*r[j+1];
            if(t<u)
            {
                u=t;
                com[i][j]=k;
            }
        }
        return u;
    }
}


int main()
{
    int n;
    printf("input n:");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&r[i]);
    printf("min=%d
",course(1,n-1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
            printf("%d ",com[i][j]);
        printf("
");
    }
    return 0;
}

com适用于保存矩阵的结合方式的com[i][j]=k，表示的是mik*mkj的时候进行乘法的次数最少

递归调用的过程如下:

1-2,2-3,3-4等子问题都被递归调用了2次，子问题存在重复。可以采用备忘录方法解决该问题，设置一个全局变量m[i][j[,存储已经计算过的course(i,j)的值，下次调用的时候直接使用。

非递归算法

非递归的算法计算过程和算法主要思想里面的一致。运算的矩阵的个数从少到多慢慢增加。

  for(int i=1;i<n;i++)
    {
        m[i][i]=0;
        m[i][i+1]=r[i]*r[i+1]*r[i+2];
        com[i][i+1]=i;
    }
    m[n][n]=0;
    //动态规划
    for(int s=2;s<n;s++)
        for(int i=1;i<=n-s+1;i++)
        {
            j=i+s;
            m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+r[i]*r[i+1]*r[j+1];
            com[i][j]=i;
            for(int k=i+1;k<j;k++)
            {
                t=m[i][k]+m[k+1][j]+r[i]*r[k+1]*r[j+1];
                if(t<m[i][j])
                    m[i][j]=t;
                com[i][j]=k;
            }

        }