一本通1614锯木厂选址

1614：锯木厂选址

时间限制: 1000 ms 内存限制: 32768 KB

Description

从山顶上到山底下沿着一条直线种植了n棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。
木材只能按照一个方向运输：朝山下运。山脚下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建两个锯木厂，使得传输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。

Input

输入的第一行为一个正整数n——树的个数（2≤n≤20 000）。树从山顶到山脚按照1，2……n标号。接下来n行，每行有两个正整数（用空格分开）。第i+1行含有：wi——第i棵树的重量（公斤为单位）和 di——第i棵树和第i+1棵树之间的距离，1≤wi ≤10 000，0≤di≤10 000。最后一个数dn，表示第n棵树到山脚的锯木厂的距离。保证所有树运到山脚的锯木厂所需要的费用小于2000 000 000分。

Output

输出只有一行一个数：最小的运输费用。

Sample Input

9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1

Sample Output

数据范围玄学：n²可过，正解应该是O(n）的，所以姑且认为是10⁶吧

sol：斜率优化dp 有点像ZJOI2007仓库建设

n²暴力几乎和上一道一样，就是稍微转化下，就把统计 j ~ i 的东西全部运到 i 需要的花费变成O(1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0');    return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('
')
const int N=200005;
const ll inf=0x7fffffffffff;
int n;
ll W[N],W_Qzh[N],Dis[N],Cost[N];
ll dp_Last[N],dp[N];
int main()
{
    int i,j;
    R(n);
    Dis[1]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        W[i]=read();
        W_Qzh[i]=W_Qzh[i-1]+W[i];
        Dis[i+1]=Dis[i]+read();
        Cost[i]=Cost[i-1]+W[i]*Dis[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dp_Last[i]=Dis[i]*W_Qzh[i]-Cost[i];
    }
    memset(dp,63,sizeof dp);
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<i;j++)
        {
            dp[i]=min(dp[i],dp_Last[j]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[j])-(Cost[i]-Cost[j]));
        }
    }
    ll ans=inf;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        ans=min(ans,dp[i]+Dis[n+1]*(W_Qzh[n]-W_Qzh[i])-(Cost[n]-Cost[i]));
    }
    Wl(ans);
    return 0;
}
/*
input
9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1
output
26
*/

n^2暴力

推导如下

j<k<i
--> dp_Last[j]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[j])-(Cost[i]-Cost[j])
--> dp_Last[j]+Dis[i]*W_Qzh[i]-Dis[i]*W_Qzh[j]-Cost[i]+Cost[j] (S2)

--> dp_Last[k]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[k])-(Cost[i]-Cost[k])
--> dp_Last[k]+Dis[i]*W_Qzh[i]-Dis[i]*W_Qzh[k]-Cost[i]+Cost[k] (S1)

若k比j优则 S1<=S2
dp_Last[k]-Dis[i]*W_Qzh[k]+Cost[k] <= dp_Last[j]-Dis[i]*W_Qzh[j]+Cost[j]
(dp_Last[k]+Cost[k])-(dp_Last[j]+Cost[j]) <= Dis[i]*(W_Qzh[k]-W_Qzh[j])

/*

    j<k<i
    --> dp_Last[j]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[j])-(Cost[i]-Cost[j])
    --> dp_Last[j]+Dis[i]*W_Qzh[i]-Dis[i]*W_Qzh[j]-Cost[i]+Cost[j]   (S2)
    
    --> dp_Last[k]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[k])-(Cost[i]-Cost[k])
    --> dp_Last[k]+Dis[i]*W_Qzh[i]-Dis[i]*W_Qzh[k]-Cost[i]+Cost[k]   (S1)
    
    若k比j优 则 S1<=S2
    dp_Last[k]-Dis[i]*W_Qzh[k]+Cost[k] <= dp_Last[j]-Dis[i]*W_Qzh[j]+Cost[j]
    (dp_Last[k]+Cost[k])-(dp_Last[j]+Cost[j]) <= Dis[i]*(W_Qzh[k]-W_Qzh[j])
    
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0');    return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('
')
const int N=200005;
const ll inf=0x7fffffffffff;
int n;
ll W[N],W_Qzh[N],Dis[N],Cost[N];
ll dp_Last[N],dp[N],Que[N];
//(dp_Last[k]+Cost[k])-(dp_Last[j]+Cost[j]) <= Dis[i]*(W_Qzh[k]-W_Qzh[j])
inline bool Panduan(int j,int k,int i) //j<k<i
{
    ll S1=(dp_Last[k]+Cost[k])-(dp_Last[j]+Cost[j]);
    ll S2=Dis[i]*(W_Qzh[k]-W_Qzh[j]);
    return (S1<=S2)?(1):(0);
}
inline bool Panduan_Rev(int j,int k,int i) //j<k<i
{
    ll S1=((dp_Last[k]+Cost[k])-(dp_Last[j]+Cost[j]))*(W_Qzh[i]-W_Qzh[k]);
    ll S2=((dp_Last[i]+Cost[i])-(dp_Last[k]+Cost[k]))*(W_Qzh[k]-W_Qzh[j]);
    return (S1>=S2)?(1):(0);
}
int main()
{
    int i,j;
    R(n);
    Dis[1]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        W[i]=read();
        W_Qzh[i]=W_Qzh[i-1]+W[i];
        Dis[i+1]=Dis[i]+read();
        Cost[i]=Cost[i-1]+W[i]*Dis[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dp_Last[i]=Dis[i]*W_Qzh[i]-Cost[i];
    }
    int Head=1,Tail=1; Que[1]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(Head<Tail&&Panduan(Que[Head],Que[Head+1],i)) Head++;
        j=Que[Head];
        dp[i]=dp_Last[j]+Dis[i]*(W_Qzh[i]-W_Qzh[j])-(Cost[i]-Cost[j]);
        while(Head<Tail&&Panduan_Rev(Que[Tail-1],Que[Tail],i)) Tail--;
        Que[++Tail]=i;
    }
    ll ans=inf;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        ans=min(ans,dp[i]+Dis[n+1]*(W_Qzh[n]-W_Qzh[i])-(Cost[n]-Cost[i]));
    }
    Wl(ans);
    return 0;
}
/*
input
9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1
output
26
*/

斜率优化