一本通1611仓库建设

1611：仓库建设

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Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。

你将得到以下数据：

1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;

2：工厂i目前已有成品数量Pi;

3：在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

「数据规模」

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。

所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

sol：这题对于我来说并不能一下子写出正解，要先写暴力然后推出正解

另 f[i]=f[j]+Calc（j+1,i），Calc（j+1,i）表示 j+1 到 i 的货物全部运到 i 的花费

对于这个暴力统计是这样的：

for(k=j+1;k<=i;k++)
{
　　int SS=0;
　　SS+=(Dis[i]-Dis[j])*P[j];
}

设一个 Val[i]=Val[i-1]+P[i]*Dis[i]; 和一个P_Qzh[i]=P_Qzh[i-1]+P[i];

SS就是Calc（j+1，i），容易发现SS=Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j])；

然后就有了n²的暴力

然后套路的用斜率优化，过程如下

j<k<i (若k比j优)
dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j]) (1)
--->dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*P_Qzh[i]-Dis[i]*P_Qzh[j]-Val[i]+Val[j]

dp[k]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[k])-(Val[i]-Val[k]) (2)
--->dp[k]+Cost[i]+Dis[i]*P_Qzh[i]-Dis[i]*P_Qzh[k]-val[i]+Val[k]

若(1)>=(2)
---> dp[k]-Dis[i]*P_Qzh[k]+Val[k] <= dp[j]-Dis[i]*P_Qzh[j]+Val[j]
---> (dp[k]+Val[k])-(dp[j]+Val[j]) <= Dis[i]*(P_Qzh[k]-P_Qzh[j])

上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0');    return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('
')
const int N=1000005;
int n,m;
ll Dis[N],P[N],P_Qzh[N],Val[N],Cost[N];
ll dp[N];
int main()
{
//    freopen("storage4.in","r",stdin);
    int i,j;
    R(n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        Dis[i]=read();
        P_Qzh[i]=P_Qzh[i-1]+(P[i]=read());
        Val[i]=Val[i-1]+P[i]*Dis[i];
        Cost[i]=read();
    }
    /*
    for(k=j+1;k<=i;k++)
    {
        int SS=0;
        SS+=(Dis[i]-Dis[j])*P[j];
    }
    SS=Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j])
    */
    memset(dp,63,sizeof dp); dp[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            dp[i]=min(dp[i],dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j]));
        }
    }
    Wl(dp[n]);
    return 0;
}
/*
input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
output
32
*/

n^2暴力

/*
    j<k<i  (若k比j优)
    dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j])    (1)
--->dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*P_Qzh[i]-Dis[i]*P_Qzh[j]-Val[i]+Val[j]
    
    dp[k]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[k])-(Val[i]-Val[k])    (2)
--->dp[k]+Cost[i]+Dis[i]*P_Qzh[i]-Dis[i]*P_Qzh[k]-val[i]+Val[k]

若(1)>=(2)
---> dp[k]-Dis[i]*P_Qzh[k]+Val[k] <= dp[j]-Dis[i]*P_Qzh[j]+Val[j]
---> (dp[k]+Val[k])-(dp[j]+Val[j]) <= Dis[i]*(P_Qzh[k]-P_Qzh[j])
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0');    return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('
')
const int N=1000005;
int n,m;
ll Dis[N],P[N],P_Qzh[N],Val[N],Cost[N];
ll dp[N],Que[N];
inline bool Panduan(int j,int k,int i) //j<k<i
{
    ll S1=(dp[k]+Val[k])-(dp[j]+Val[j]);
    ll S2=Dis[i]*(P_Qzh[k]-P_Qzh[j]);
    return (S1<=S2)?(1):(0);
}
inline bool Panduan_Rev(int j,int k,int i)  //j<k<i
{
    ll S1=((dp[k]+Val[k])-(dp[j]+Val[j]))*(P_Qzh[i]-P_Qzh[k]);
    ll S2=((dp[i]+Val[i])-(dp[k]+Val[k]))*(P_Qzh[k]-P_Qzh[j]);
    return (S1>=S2)?(1):(0);
}
int main()
{
    int i,j;
    R(n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        Dis[i]=read();
        P_Qzh[i]=P_Qzh[i-1]+(P[i]=read());
        Val[i]=Val[i-1]+P[i]*Dis[i];
        Cost[i]=read();
    }
    int Head=1,Tail=1; Que[1]=0;
    dp[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(Head<Tail&&Panduan(Que[Head],Que[Head+1],i)) Head++;
        j=Que[Head];
        dp[i]=dp[j]+Cost[i]+Dis[i]*(P_Qzh[i]-P_Qzh[j])-(Val[i]-Val[j]);
        while(Head<Tail&&Panduan_Rev(Que[Tail-1],Que[Tail],i)) Tail--;
        Que[++Tail]=i;
    }
    Wl(dp[n]);
    return 0;
}
/*
input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
output
32
*/

斜率优化