考试复习整理

最近数据结构课要考试了，这学期基本没去过数据结构课堂，咳咳，拿出书和课件来翻翻，不少内容都比CLRS繁琐而不清晰。
简单整理了一些要点，发现这些东西或许还是有些分享价值的。。。虽说大多非常水。

稀疏矩阵

非零元素/（m * n） < 0.05 可认为是稀疏的，当然实际上是一个经验判断，这个数值仅供参考而已
采用三元组进行存储
整体是一个数组，每个元素是一个struct，成员包括value、行、列
转置：
一般转置算法：
原矩阵为A，转置后为B：
1. 初始化B，B.rows=A.cols;B.cols=A.rows;
j=0 //用来扫描B的index
for(k : 0 to A.cols) //按照原矩阵的列扫描
for(i : 0 to terms) //terms是矩阵中非零元素的个数
if(A.matrix[i].col == k)
B.matrix[j].row=A.matrix[i].col
B.matrix[j].col=A.matrix[i].row
B.matrix[j].value=A.matrix[i].value
j++
1. 快速转置（类似于桶排序）
  前一个转置是很慢的，时间复杂度高达O(cols*terms)
  我们可以先扫描A，确定A中每一列有几个元素，
  如： col 0 1 2 3 4 5
  元素个数 1 1 1 3 0 2
  
  则此时可以计算出一个数组help，第i个元素代表A中第i列的元素放在B的help[i]位置上
  help 0 1 2 3 6 6
  
  for(i : 0 to terms)
  pos=help[ A.matrix[i].col ]
  B.matrix[pos].col = A.matrix[i].row
  B.matrix[pos].row = A.matrix[i].col
  B.matrix[pos].value = A.matrix[i].value
  help[A.matrix[i].col]++
  //这里让help数组中对应元素自增；这样遇到原A中和此元素同一列的元素时可以自动放在它的下一个位置

广义表

这个数据结构在C++ 中用的不多，但是在scheme中已经见识到了这样一个 闭包结构的威力，看过SICP的孩子们看到广义表肯定倍感亲切呀。
比如随手写一个： (cons a (cons b (cons c nil))) 就是一个链表, (cons (list a b ) (list c d)) 就是一个二叉树
深度：括号的嵌套层次
长度：最外层的子表个数
example： depth length
- A () 1 0
- B (a b) 1 2
- C (a b (d e f) ) 2 3
- D (A B C) 3 3
- E (B D) 4 2
- F (h F) 乄 2
  *也就是说，一个广义表的深度=它的所有子表里面深度最大的一个的深度+1而广义表的长度则不管子表的内容，子表和原子作为同样看待，看有几个

利用栈模拟实现二叉树的非递归遍历

这是一个非常经典的问题，借考试之故做个整理也是极好的

前序遍历

前序的改写最为容易，因为前序的右子树遍历是尾递归，而左子树遍历也接近尾递归，可以轻易的写为迭代而不借助栈
比如：
void preorder(treenode *node){
    while(node!=NULL){
        if(node->left!=NULL){
         node=node->left;
         break;
     }
        node=node->right;
}
这样的代码对于我们理解栈模拟没有任何用处，它只是用到了尾递归优化技巧，并且对于我们写出中序和后序也没有帮助
思考下面的方法：
void stack_preorder(treenode *node){
    stack  s;
    while(true){
         while(node!=NULL){
            visit(node);
            s.push(node->right);
            node=node->left;
        }
        if(s is empty) break;
        node=s.pop();
    }
}
当然，这里的两侧while可以写成一层：
void stack_preorder(treenode *node){
    stack  s;
    while(true){
         if(node!=NULL){
            visit(node);
            s.push(node->right);
            node=node->left;
        }
        else if(s is empty) break;
        else node=s.pop();
    }
}

中序遍历

前序的后一种方法很容易让我们写出利用栈模拟的中序遍历算法:
void stack_inorder(treenode *node){
    stack s;
    while(true){
        if(node != NULL){
            s.push(node);
            node=node->left;
        }
        else if(s is empty)
            break;
        else {
            treenode *p=s.pop();
            visit(p);
             node=node->right;
         }
    }
}
到这里我们需要思考下一个问题，栈模拟是在帮助我们记住返回的路径，有没有办法不用栈呢？
（之前有篇模版二叉树的博文里面的operator<< 实际上就是一个非递归不用栈的二叉树遍历）
void inorder(treenode *node){
    
    while(true){
        if(node->left!=NULL){
            node=node->left;
        }
        else {
            visit(p);
           while(node->right==NULL)
            {
                node=node->succ();
                if(node==NULL)
                   break；
                else visit(node);
               
           }
           node=node->right;
        }
        
    }
}

 解释一下，首先循环开始：
 从当前开始不断的向左，直至最左结点；
 访问最左结点；
 最左的结点没有右孩子：
     访问它中序下的后继；
     循环这一过程
 访问它的右孩子（此时将右孩子作为和根结点一样的地位，进行遍历） （实际上中序的右子树遍历是直接尾递归优化来的，很容易理解）

后序遍历

后序遍历就稍微麻烦一些，因为它的左子树和右子树遍历均不是尾递归。
这时候我们要解决一个问题，从栈中退出的时候我们接下来要访问什么？
我们无法确定是原递归的左子树调用还是右子树调用，因此需要添加一个标记。
标记取为enum 的两个常量：from_left_to_right  from_right_to_root分别对应当前结点是从左子树遍历中退出应该去右子树、以及遍历完右子树应该访问它自身两种情况

void stack_postorder(treenode *node){
    stack s;
    s.push(node);
    while(s is not empty){
        while(node->left != NULL){
            node=node->left;
            s.push(node);
        }
       
        while(true){
            node=s.pop();
            if(node.tag== from_left_to_rigth){
                s.push(node);
                node.tag=frome_right_to_root;
                node=node->right;
                break;
            }
            else if(node.tag==frome_right_to_root){
                visit(node);
            }
        }
    }
}

二叉树计数和退栈可能数

n个元素能够组成多少个不同的二叉树？
给定n个元素的进栈顺序，有多少种合法的出栈顺序？

上面两个问题实际上是等价的，先来看第二个问题：

首先我们要明确什么样的出栈顺序不合法：

如入栈顺序为i,j,k,出栈顺序为pk < pi < pj,则不合法，
比如 123 入栈，则312不合法

考虑n个元素 1 2 3 ……n 进栈，合法的出栈顺序数满足下列递推：

f(n)= f(n-1) * f(0) + f(n-2) * f(1) + f(n-3) * f(2) + …… + f(0)f(n-1)
解释一下：
左边：f(n)表示1 2 3 …… n的入栈顺序下的出栈可能的数目
右边：我们按照最后一个出栈元素的不同来分类：
1. 最后一个出栈的是n ，则此时出栈的种类数=f(n-1)
2. 最后一个出栈的是n-1,则此时出栈的种类数等于f(n-1)f(1)
3. 依次类推，直至f(0)*f(n-1)

上述的f(n)实际上就是catalan数，其通项公式为C(n,2n)/(n+1)

而二叉树的种类数也是上面的catalan数