ZOJ-2770 Burn the Linked Camp---差分约束系统

题目链接:

https://vjudge.net/problem/ZOJ-2770

题目大意：

大家都知道，三国时期，蜀国刘备被吴国大都督陆逊打败了。刘备失败的原因是因为刘备的错误决策。他把部队分成几十个大营，每个大营驻扎一队部队，又用树木编成栅栏，把大营连成一片，称为连营。
让我们回到那个时代。陆逊派了很多密探，获得了他的敌人-刘备的信息。通过密探，他知道刘备的部队已经分成几十个大营，这些大营连成一片(一字排开)，这些大营从左到右用1...n编号。第i个大营最多能容纳Ci个士兵。而且通过观察刘备军队的动静，陆逊可以估计到从第i个大营到第j个大营至少有多少士兵。最后，陆逊必须估计出刘备最少有多少士兵，这样他才知道要派多少士兵去烧刘备的大营。
为陆逊估计出刘备军队至少有多少士兵。然而，陆逊的估计可能不是很精确，如果不能很精确地估计出来，输出"Bad Estimations"

Sample Input:

3 2
1000 2000 1000
1 2 1100
2 3 1300

Sample Output:

1300

思路：

如果不了解差分约束系统，请点传送门

数学模型为：设3个军营的人数分别为A1, A2, A3，容量为C1, C2, C3，前n个军营的总人数为Sn，则有：

1. 则根据第i个大营到第j个大营士兵总数至少有k个,得不等式组(1):
S2 – S0 >= 1100 等价于 S0 – S2 <= -1100
S3 – S1 >= 1300 等价于 S1 – S3 <= -1300

2. 每个兵营实际人数不超过容量，得不等式组(2)
A1 <= 1000 等价于 S1 – S0 <= 1000
A2 <= 2000 等价于 S2 – S1 <= 2000
A3 <= 1000 等价于 S3 – S2 <= 1000

3. 另外由Ai>=0，又得到不等式组(3)
S0 – S1 <= 0
S1 – S2 <= 0
S2 – S3 <= 0

注：书上还表标明一组不等式：

又根据实际情况,第i个大营到第j个大营的士兵总数不超过这些兵营容量之和，设d[i]为前i个大营容量总和，得不等式组(4):
S2 – S0 <= d[2] – d[0] = 3000
S3 – S1 <= d[3] – d[1] = 3000

但这组不等式是多余的，这是由于每两个相邻的点之间都有了两条边，这组不等式就是它的传递闭包中的某些边，但是在进行bellman算法的时候，已经进行松弛，在迭代的过程已经考虑了这些边，所以是多余的。

比如上面这个例子，上面的不等式组4完全可以通过不等式组2相加得到，所以加入这些边是没有意义的。

由上述不等式组，就可以建出图中需要的边。答案需要求总人数的最小值，就是A1+A2+A3的最小值(即S3 – S0的最小值)

要求S3 – S0的最小值，即要求不等式：
S3 – S0 >= M中的M的最大值（M没有最小值，最小可以是负无穷），转化成：S0 – S3 <= -M（-M的最小值，也就是求S3到S0的最短路径)，长度为-M

所以对于Sn来说，求的是从Sn到S0的最短路径，所以源点是Sn，总点数有n+1个，所以用Bellman算法需要迭代n次才能求出最短路，并且还需要迭代第n+1次判断负环是否存在（写题目的时候就是只迭代n次导致一直出错）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#define MEM(a, b) memset(a, b, sizeof(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000 + 10;
const int maxm = 1e5;
const int INF = 9999999;
int n, m, tot;
int d[maxn];//最短路径
struct edge
{
    int u, v, w;
    edge(int u, int v, int w):u(u), v(v), w(w){}
    edge(){}
};
edge e[maxm];
void addedge(int u, int v, int w)
{
    e[tot++] = edge(u, v, w);
}
bool bellman(int u)
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)d[i] = INF;
    d[u] = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)//迭代n + 1次,因为有n+1个点，普通迭代需要n次，第n+1次迭代是为了检查有无负环
    {
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            int u = e[j].u, v = e[j].v, w = e[j].w;
            if(d[u] < INF && d[v] > d[u] + w)
            {
                d[v] = d[u] + w;
                if(i == n)return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    while(cin >> n >> m)
    {
        tot = 0;
        int x;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &x);
            addedge(i - 1, i, x);
            addedge(i, i - 1, 0);
        }
        int u, v, w;
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &u, &v ,&w);//Sv - Su-1 >= w   ==>   Su-1 - Sv <= -w   ==>   建立边<v, u-1>权值为-w
            addedge(v, u-1, -w);
        }
        if(bellman(n))cout<<"Bad Estimations"<<endl;
        else cout<<(-d[0])<<endl;
    }
    return 0;
}