洛谷 P4550 收集邮票

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题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行,一个数字N
N<=10000

输出格式

要付出多少钱.
保留二位小数

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题解：

期望DP先来尝试设置一下状态：

根据这道题，肯定类比先设置状态为(dp[i])表示已经买了i种邮票，想要取完的期望钱数。转移方程是：

[dp[i]=frac{i}{n}dp[i]+frac{n-i}{n}dp[i+1]+i+1 ]

但是上面这个方程显然是不对的。

为什么呢？因为我们这个方程只考虑了期望钱数，并没有考虑期望次数。根据以上方程，我们新加的钱数默认为i+1，那样的话，整个取邮票的过程就与种数无关，而这显然是不对的。

也就是要考虑期望次数。因为钱数和期望次数有关。

设期望次数为f[i]，那么针对f[i]的转移就是我们比较熟悉的：

[f[i]=frac{i}{n}f[i]+frac{n-i}{n}f[i+1]+1 ]

即：

[f[i]=f[i+1]+frac{n}{n-i} ]

这时我们可以来考虑钱数了。

这时，每一个新状态的钱数期望就是上一个状态的钱数期望加上上一个状态的的期望次数+1。

也就是：

[dp[i]=frac{i}{n}(dp[i]+f[i]+1)+frac{n-i}{n}(dp[i+1]+f[i+1]+1) ]

代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
double f[10010],dp[10010];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        dp[i]=(1.0*i/(1.0*(n-i)))*f[i]+dp[i+1]+f[i+1]+(1.0*n/(1.0*(n-i)));
    printf("%.2lf
",dp[0]);
    return 0;
}