接博客：相机的标定
5. 摄像机的坐标系转换
以针孔模型为例,如果不考虑透镜的畸变,空间任意一点P在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示,即任意点P在图像上的成像位置可以用p为光心O与P点的连线OP与图像平面的交点，这种关系也被称为中心投影或透视投影,它们的几何比例关系是
${ m{x}} = frac{{f{X_c}}}{{{Z_c}}}$
${ m{y}} = frac{{f{Y_c}}}{{{Z_c}}}$
式中，[x,y]为P点的图像坐标系；[Xc,Yc,Zc]T为空间点P在摄像机坐标系下的坐标。用齐次坐标系与矩阵表示上述投影为
${Z_c}left[ {egin{array}{*{20}{c}}
x\
y\
1
end{array}}
ight] = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
f&0&0&0\
0&f&0&0\
0&0&1&0
end{array}}
ight]left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{X_c}}\
{{Y_c}}\
{{Z_c}}\
1
end{array}}
ight]$
（式5.1）
联立式2.1,4.1,5.1，可以得出由世界坐标系下表示的P点坐标与投影点p在图像坐标系下的坐标映射关系
${Z_c}left[ {egin{array}{*{20}{c}}
u\
v\
1
end{array}}
ight] = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{frac{1}{{{mu _x}}}}&{ - frac{{cot heta }}{{{mu _x}}}}&{{u_0}}\
0&{frac{1}{{{mu _y}sin heta }}}&{{v_0}}\
0&0&1
end{array}}
ight]left[ {egin{array}{*{20}{c}}
f&0&0&0\
0&f&0&0\
0&0&1&0
end{array}}
ight]left( {egin{array}{*{20}{c}}
R&T\
{{0^T}}&1
end{array}}
ight)left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{X_w}}\
{{Y_w}}\
{{Z_w}}\
1
end{array}}
ight]$
（式5.2）
R,T被称为相机的外部参数，用于确定世界坐标系到相机坐标系的转换，其余参数只与相机本身有关系，被称为相机的内部参数。确定相机内外部参数叫做相机的标定。
由式5.2知，如果已知摄像机的内外参数，并且对于空间中一点P已知世界坐标（Xw,Yw,Zw,1）,这样就可以求出该点在图像中的坐标系位置（u，v），而反过来在已知空间中某点P在图像中的坐标位置(u,v)，即使知道内外参数也无法确定世界坐标系位置（因为存在3x4矩阵不可逆）。
二、摄像机畸变模型
相机的畸变误差主要分为：径向畸变，偏心畸变，薄棱镜畸变。
径向畸变使得图像点相对于理想位置发生向内或向外的偏移，这种畸变主要是由透镜曲面上的瑕疵造成的。偏心畸变主要是由于光学系统中心和几何中心不一致造成的，即镜头的光学中心不能严格共线。薄棱镜畸变是由于镜头设计缺陷和安装误差造成成像面不平整而引起的，例如透镜的光轴和摄像机的面阵之间存在倾角误差，这类误差相当于在光学系统中加了一个薄棱镜。
【 结束 】