[数字图像处理]数字图像的有理数倍缩放(缩小与放大)

1.序言

根据上两节的内容，我们已经实现了整数倍的扩大与缩小。链接给在下面，有需要的就点吧。

事实上，在缩小与放大图像的时候，很多时候需要非整数倍的变换，整数倍变换是很特殊的情况。在实现了整数倍的扩大与整数倍的缩小之后，就可以实现有理数倍的变换。

2.图像的分辨率的有理数倍变换

图像的分辨率的有理数倍变换，如上图所示。先进行U倍的扩大，然后再缩小D倍，那么，就实现了U/D倍的分辨率变换。这里值得说的是，U与D都是整数，其中↑U表示了零值插入操作，↓D则表示为降采样操作。我们将上面的图进行一个变换，可以得到下面的图。

其中，

。

2.1 图像的分辨率的有理数倍扩大(U>D)

为了一些得到有理数倍扩大的有用结论。我们首先假设U=3，D=2，这样，就相当于1.5倍的扩大。此时，我们需要的理想滤波器的振幅特性如下所示。

可以看到，当U>D的时候，所用的扩大操作所用的滤波器

的通带要比缩小操作的所用滤波器

的通带要窄。所以，我们所需要的有理数倍扩大所用的滤波器如下所以。

到此，我们可以得到如下两个非常有用的结论。

①：当U>D的时候，我们可以将

直接当做

使用。

②：当U>D的时候，缩小处理所用直接降采样法就可以了。（其理由是，

已经很大程度上减小了混淆，没有必要在使用平均操作法）

现在，使用线性插值法与直接降采样法，实现图像的1.5倍变换。输入图像的分辨率为：512×512，其输出图像的尺寸为：768×768。（结果图片就不贴出来了，我直接上代码）。

2.2 图像的分辨率的有理数倍缩小(U<D)

同样的，为了得到一些有用结论。我们首先假设U=2，D=3，这样，就相当于2/3倍的变换（相当于缩小）。此时，我们需要的理想滤波器的振幅特性如下所示。

可以看到，当U<D的时候，所用的扩大操作所用的滤波器

的通带要比缩小操作的所用滤波器

的通带要宽。所以，我们所需要的有理数倍扩大所用的滤波器如下所以。

到此，我们可以得到如下两个非常有用的结论。

①：当U<D的时候，我们绝对不可将

直接当做

使用。（其理由是，

的通带较窄，并不能减小混淆现象）

②：当U<D的时候，缩小处理所用滤波器

，将其进行U倍振幅调整，即

。那么，调整过的滤波器的可以当做

使用。但是，如果处理不当的话，会出现棋盘失真（关于棋盘失真的条件，我在本文的后面将会叙述）。

现在，使用零次保持法（最邻近插值法）与平均操作法，实现图像的2/3倍变换。输入图像的分辨率为：512×512，其输出图像的尺寸为：341×341。（结果图片就不贴出来了，我直接上代码）。

3.分辨率变换时候需要注意的几个问题

3.1分离式滤波处理

事实上，以上的实验，水平方向与垂直方向都是以相同的倍率变化的。所以，此时，我们使用二维滤波器，就可以实现。但是，很多时候水平方向与垂直方向的变化是不同倍率的。所以，为了实现这个变换，我们用一维滤波器来实现图像的分辨率的变换，如下图所示。

首先，对于M×N的图像，先进行水平方向上逐列进行一维卷积，得到的图像是P×N的图像。然后，在垂直方向上逐行进行一维卷积，就可以得到P×Q的图像。若如此处理，则可以得到水平方向与垂直方向上的不同倍率变化。最为实验，我实现了水平方向上的1.5倍扩大与垂直放上想的2/3倍的缩小。

输入图像的分辨率：512×512

输出图像的分辨率：341×768

上面是效果图，下面我贴出代码来。

3.2棋盘失真

我们将3个像素上的平均操作，振幅扩大调整两倍。将所得到的滤波器，用作2/3倍缩小的操作的滤波器使用，此滤波器如下所示。

从振幅特性上，与我们所希望的滤波器具有相同的特性。我们使用这个滤波器，进行2/3倍缩小的操作，可以得到如下所示的输出。

可以看到，画质非常的差，出现了棋盘失真。关于为何会出现棋盘失真，如下解释，首先，将所用滤波器进行多相分解（Polyphase decomposition），如下所示。

我们得到了如上一个式子，根据这个式子，我们扩大操作的框图可以按照如下流程分解。

按照上图，我们可以得到一个信息。由于R0与R1的最终输出值不一致，所以，这个滤波器的输出无法收敛，就像下图一样。

所以，其输出就成了一个棋盘一样的输出。所以，期盼失真的出现的条件是，按照多相分解的结果，若每个部分的最终输出值不一致，会导致滤波器的输出不收敛，最终造成棋盘失真。为了避免棋盘失真，就应该使其每个部分一致。

到此，我们就实现一幅图像的分辨率的有理数倍的缩放。

参考文献

貴家仁志，“ディジタル画像の解像度変換 — 任意サイズへの画像の変換，” インターフェース，CQ出版，1998年6月
貴家仁志，“ディジタル画像の解像度変換 — 画像の拡大，” インターフェース，CQ出版，1998年4月
貴家仁志，“ディジタル画像の表現と階調変換，色間引きの原理，” インターフェース，CQ出版，1998年2月

《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods

原文发于博客：http://blog.csdn.net/thnh169/