定义 13.1 矩阵 的行向量组的秩称为
的行秩, 据政
的列向量组的秩称为
的列秩.
定理 13.1 设
的充分必要条件是
中有一个
,并且所有含
( 如果存在的话 )
.
(子式定义:在 矩阵
中,任取
行
列的元素,按原排列组成的
阶行列式,称之为
的
阶子式。)
推论 13.2 设 , 则
(1) 的列秩
的列秩;
(2) 的列秩
的行秩.
定义 13.2 矩阵 的行秩和列秩通称为
的秩, 记为
.
显然, 矩阵 的秩是唯一确定的 , 并且,
,
, 零矩阵的秩等于 0.
秩的一个等价定义: 若 矩阵
中有一个
阶子式
,并且所有的
阶子式全为零,则称
为
的最高阶非零子式,
称为
的秩,记
。
推论 13.3 若矩阵 中有一个
阶子式不为0, 则
;若矩阵
中所有
阶子式全为0, 则
.
推论:当 阶方阵
的行列式
,则
;反之,当
阶方阵
的秩
,则
。因此
阶方阵可逆的充分必要条件是
(满秩)
定理:初等变换不改变矩阵的秩