Prufer序列
Prufer 序列可以将一个带标号(n)个结点的无根树用(n-2)个([1,n])的整数表示。也可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射。
带标号无根树与(Prufer)序列是一一对应的。
无根树转Prufer序列
有一棵带标号无根树。它的(Prufer)序列构造如下：
每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记下和它相邻的那个结点的编号。反复执行操作直到只剩下两个结点。
Prufer序列转无根树
有一个(Prufer)序列和(n)个点的点集。转回无根树就是：
每次取出(Prufer)序列中最前面的元素(x)，和点集中编号最小的不在(Prufer)序列的元素(y)，给(x，y)连边之后分别删去。最后点集中剩下两个结点，把它们连边。
性质
- (Prufer)序列中每个编号出现次数等于该结点在原树中的度数-1。（只有作为叶子被删去时不会加入序列中）
Cayley′s Formula
因为(Prufer)序列和原树是一一对应的关系，所以
- (n)个点带标号无根树的方案数为(n^{n-2})。
(Ex)：
1.如果给定每个点度数$d_1,d_2,dots,d_n $，那么
-
对应的无根树的数量为(frac{(n-2)!}{prod_{i=1}^n(d_i-1)!})。
相当于是已经确定了序列中的元素，现在只用算多重集的排列数。
2.(n)个点其中(k)个给定度数，令(s=sum_{i=1}^k(d_i-1))
-
对应的无根树数量(inom{n-2}{s}frac{s!}{prod_{i=1}^k(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s})。
就是这(s)个排列了之后剩下的位置随便填。
3.有(n)个带权的点，边权为连接的点权之积，树的权值为边权之积。求所有树的权值之和。
设点(i)的权值为(val_i)，度数为(d_i)，那么一棵树的权值就是(prod_{i=1}^nval_i^{d_i})。
考虑利用(Prufer)序列计算。根据乘法分配率
-
答案是((prod_{i=1}^nval_i)(sum_{i=1}^nval_i)^{n-2})。
第一项就是考虑到每个点在(Prufer)序列恰出现(d_i-1)次，所以要补一次。
Generalized Cayley′s Formula
(n)个点构成(m)棵有标号无根树，且指定其中(m)个点不在同一棵树上。
- 方案数为(f(n,m)=mn^{n-m-1})。
(m=1)时有(f(n,1)=n^{n-2})，即Cayley′s Formula。
可以归纳证明：首先对于任意(n)有(f(n,0)=0)，(f(n,1)=n^{n-2})，这是边界。
我们假设对于所有(i<n)，(f(i,m)=mi^{i-m-1})恒成立。要证(f(n,m)=mn^{n-m-1})。
方便起见，我们枚举1号点的度数(i)，以及与1号点相连的那(i)个点，那么在去掉1号点之后，会留下(n-1)个点和(m+i-1)棵树（常用的缩小规模手段要学会）。即：
令(i=n-m-i)，则有：
第二步到第三步是因为(i=0)时这一项乘了个(i)所以结果就是0。
前面一项，用二项式定理变成(n^{n-m})；后面一项把(i)丢进组合数里约分，(inom{n-m}{i}i)变成((n-m)inom{n-m-1}{i-1})。
(Q.E.D.)
图联通方案数
Problem to solve：(n)个点(m)条边的带标号无向图形成(k)个联通块。添加(k-1)条边使得图联通的方案数。
设(s_i)表示第(i)个联通块中点的数量。我们现在是要对(k)个联通块构造(Prufer)序列。但是因为每个联通块连接方式很多，所以不能直接简单构造。
考虑设(d_i)为第(i)个联通块的度数。有(sumlimits_{i=1}^kd_i-1=k-2)（两边同时加(k)就是(sumlimits_{i=1}^kd_i=2k-2)，即度数和是边数的两倍），那么对于给定(d)序列构造(Prufer)序列的方案数有
这和Cayley′s Formula的(Ex1.)是一样的。
对于第(i)个联通块，它的连接方式有(s_i^{d_i})种，因为每一条边可以选择任意点连接。那么对于给定(d)序列的图，使其联通的方案数为
所有方案就是再枚举一个(d)序列：
由多元二项式定理：
设(e_i=d_i-1)，原式变成：
转自：
https://oi-wiki.org/graph/prufer/
https://blog.csdn.net/weixin_34227447/article/details/93649135