杭电acm 1207 汉诺塔II

汉诺塔II

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Problem Description

经典的汉诺塔问题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。
　　Gardon是个怕麻烦的人（恩，就是爱偷懒的人），很显然将64个圆盘逐一搬动直到所有的盘子都到达第三个柱子上很困难，所以Gardon决定作个小弊，他又找来了一根一模一样的柱子，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。下面的问题就是：当Gardon在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？

 

Input

包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

 

Output

对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

 

Sample Input

1

3

12

 

Sample Output

1

5

81

 

汉诺塔是一个经典的递归问题，而现在是将3个柱子换成了4个柱子，那么我们来分析问题。一共有n个盘子，当你想把i个盘子放到d上这时有4个柱子可以选择，是移动了F[i]次，将剩下的n-i个盘子移动到c的时候，d的盘子都比剩余的大，剩余的不能放到d上。这时就是经典的汉诺塔问题。最后是将刚开始移到d上的盘子再移到c上，这时是有四个盘子可用。所以整个过程下来总次数F[n]=2*F[i]+2^(n-i)-1。只要知道能够使次数最少的i就可以了。另外，因为汉诺塔递归问题最后的答案值真的是很大，所以要用无符号的long long类型保存数字，不然会数据溢出。下面是ac代码：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    while(cin>>n){
        unsigned long long F[65];
        F[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            unsigned long long minn=(unsigned long long)(pow(2,i))-1;
            for(int j=1;j<i;++j){
                unsigned long long u=2*F[j]+(unsigned long long)(pow(2,i-j)-1);
                if(u<minn)
                minn=u;
            } 
            F[i]=minn;
        }
        cout<<F[n]<<endl;
    }
}