FFisher分布

一个服从F分布的随机变量是利用如下两个随机变量的比值来定义的:

* $X/n,X\~\chi _n^2$ (有着自由度n的卡方分布）

* $Y/n,Y\~\chi _m^2$ (有着自由度m的卡方分布）

* X, Y 相互独立

联合概率密度函数

因为X, Y相互独立，所以它们的联合概率密度函数 ${f_{XY}}(x,y)$ 就是它们各自的PDF的乘积，又因为X,Y是服从卡方分布的随机变量，所以我们有:

${f_{XY}}(x,y) = \frac{{{2^{ - n/2}}{2^{ - m/2}}}}{{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}}{x^{n/2 - 1}}{y^{m/2 - 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}{e^{ - \frac{y}{2}}}$

累积分布函数

对于任意给定的正数z, 我们可以通过定义P{X/Y < z}来计算F'分布的累积分布函数

X, Y为联合概率密度函数 $f(x,y)$ 的两个随机变量。根据联合概率密度函数的定义

$P\{ U \in A\} = \int {\int\limits_A {f(x,y)dxdy} }$

一个服从F分布的随机变量是利用如下两个随机变量的比值来定义的:

* $X/n,X\~\chi _n^2$ (有着自由度n的卡方分布）

* $Y/n,Y\~\chi _m^2$ (有着自由度m的卡方分布）

* X, Y 相互独立

联合概率密度函数

因为X, Y相互独立，所以它们的联合概率密度函数 ${f_{XY}}(x,y)$ 就是它们各自的PDF的乘积，又因为X,Y是服从卡方分布的随机变量，所以我们有:

${f_{XY}}(x,y) = \frac{{{2^{ - n/2}}{2^{ - m/2}}}}{{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}}{x^{n/2 - 1}}{y^{m/2 - 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}{e^{ - \frac{y}{2}}}$

累积分布函数

对于任意给定的正数z, 我们可以通过定义P{X/Y < z}来计算F'分布的累积分布函数

X, Y为联合概率密度函数 $f(x,y)$ 的两个随机变量。根据联合概率密度函数的定义

$P\{ U \in A\} = \int {\int\limits_A {f(x,y)dxdy} }$

由此可以看出，{X,Y}被定义在区域 x/y < z， y的范围在0到正无穷，x的区域被限制为0到yz。

$P\{ X/Y < z\} = K.\int_0^\infty {\int_0^{yz} {{x^{\frac{n}{2} - 1}}{y^{\frac{m}{2} - 1}}{e^{ - \frac{x}{2} - \frac{y}{2}}}dxdy} }$

我们并不关心真正的累积分布函数F'，而是它对z的导数也就是我们需要的概率密度函数。它的内部积分的上极限仅依赖于z的函数yz， ${f_{F'}}(z) = K.\int_0^\infty {\{ \frac{d}{{dz}}[\int_0^{yz} {{x^{\frac{n}{2} - 1}}{y^{\frac{m}{2} - 1}}{e^{ - \frac{x}{2} - \frac{y}{2}}}dx]\} dy} }$

根据原函数定理

${f_{F'}}(z) = K.\int_0^\infty {{{(yz)}^{\frac{n}{2} - 1}}{y^{\frac{m}{2} - 1}}{e^{ - \frac{{yz}}{2} - \frac{y}{2}}}ydy}$

也即:

${f_{F'}}(z) = K.{z^{\frac{n}{2} - 1}}\int_0^\infty {{y^{\frac{{m + n}}{2} - 1}}{e^{ - \frac{y}{2}(z + 1)}}ydy}$

看到这里，我们发现这个函数是Gamma函数一族的

$\Gamma (\alpha ) \buildrel \wedge \over = \int\limits_0^\infty {{t^{\alpha - 1}}{e^{ - t}}dt}$

设y(z + 1)/2 = t，则dy = 2.dt / (z + 1). 替换入方程有

${f_{F'}}(z) = K.{z^{\frac{n}{2} - 1}}\int_0^\infty {{{(\frac{{2t}}{{z + 1}})}^{\frac{{m + n}}{2} - 1}}{e^{ - t.}}\frac{2}{{z + 1}}dt}$

$= K.{z^{\frac{n}{2} - 1}}{(\frac{2}{{z + 1}})^{\frac{{m + n}}{2} - 1}}\frac{2}{{z + 1}}\int_0^\infty {{t^{^{\frac{{m + n}}{2} - 1}}}{e^{ - t}}dt}$

$= K.{z^{\frac{n}{2} - 1}}{2^{\frac{{m + n}}{2}}}\frac{1}{{{{(z + 1)}^{(m + n)/2}}}}\Gamma (\frac{{m + n}}{2})$

我们实际上需要的是F = F'.(m/n)，而不是F'，所以我们用 zn/m替换z来得到F

${f_F}(z) = K.\Gamma (\frac{{m + n}}{2}){2^{\frac{{m + n}}{2}}}{(\frac{{nz}}{m})^{\frac{n}{2} - 1}}\frac{1}{{{{(\frac{{nz}}{m} + 1)}^{(m + n)/2}}}}.\frac{n}{m}$

$= K.\Gamma (\frac{{m + n}}{2}){2^{\frac{{m + n}}{2}}}{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{m^{\frac{{m + n}}{2}}}{z^{\frac{n}{2} - 1}}\frac{1}{{{{(nz + m)}^{(m + n)/2}}}}$

$= K.\Gamma (\frac{{m + n}}{2}){2^{\frac{{m + n}}{2}}}{n^{\frac{n}{2}}}{m^{\frac{m}{2}}}{z^{\frac{n}{2} - 1}}\frac{1}{{{{(nz + m)}^{(m + n)/2}}}}$

而

$K = \frac{{{2^{ - \frac{n}{2}}}{2^{ - \frac{m}{2}}}}}{{2\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}}$

所以我们得到:

${f_{n,m}}(x) = {n^{\frac{n}{2}}}{m^{\frac{m}{2}}}\frac{{\Gamma (\frac{{m + n}}{2})}}{{2\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}}.\frac{{{x^{\frac{n}{2} - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{(n + m)/2}}}}$

众数:

n = 1时:

${f_{1,m}}(x)\~\frac{1}{{\sqrt x .{{(x + m)}^{\frac{{m + 1}}{2}}}}}{m^{m + \frac{1}{2}}}$

n = 2时:

${f_{2,m}}(x) = 2{m^{\frac{m}{2}}}\frac{{\Gamma (\frac{{m + 2}}{2})}}{{\Gamma (\frac{m}{2})}}.\frac{1}{{{{(2x + m)}^{(2 + m)/2}}}}$

${f_{2,m}}(0) = 2{m^{\frac{m}{2}}}\frac{{\Gamma (\frac{{m + 2}}{2})}}{{\Gamma (\frac{m}{2})}}.\frac{1}{{{m^{(2 + m)/2}}}} = 1$

n = n;

y具有以下形式

$y = \frac{{{x^a}}}{{{{(x + b)}^c}}}$

* a = (n - 2)/2

* b = m/n

* c = (n + m)/2

y 有着 u/v 这样的形式，它的导数是(uv' - u' v)/v²，我们仅关注导数为0的极值情况，也就是uv' = u' v

然后算得 : x = ab/( c - a)

将a, b 和 c代入上式有

得到众数的通项公式为 $\frac{{n - 2}}{n}.\frac{m}{{m + 2}}$

F分布的一阶矩

F = ( X/n)/(Y/m )

$E[F'] = \int {\int {g(x,y)f(x,y)dxdy} }$

$F = g(x,y) = \frac{{X/n}}{{y/m}}$

$E[F'] = \int {\int {\frac{{mx}}{{ny}}f(x,y)dxdy} } = \frac{m}{n}\int {x{f_X}(x)dx\int {\frac{1}{y}{f_Y}(y)dy} }$

$= {K_n}{K_m}(\frac{m}{n})\int {x.{x^{\frac{n}{2} - 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}dx\int {(\frac{1}{y}){y^{\frac{m}{2} - 1}}{e^{ - \frac{y}{2}}}dy} }$

$= {K_n}{K_m}(\frac{m}{n})\int\limits_0^\infty {{x^{\frac{n}{2}}}{e^{ - \frac{x}{2}}}dx\int\limits_0^\infty {{y^{\frac{m}{2} - 2}}{e^{ - \frac{y}{2}}}dy} }$

令 x = 2t，则有 dx = 2dt，

$\int\limits_0^\infty {{{(2t)}^{\frac{n}{2}}}{e^{ - t}}2.dt = {2^{\frac{n}{2} - 1}}\int\limits_0^\infty {{t^{\frac{{n - 2}}{2}}}{e^{ - t}}dt = } } {2^{\frac{n}{2} - 1}}\Gamma (\frac{{n + 2}}{2})$

而 $\Gamma (\frac{{n + 2}}{2}) = \frac{n}{2}\Gamma (\frac{n}{2})$ ，所以上式为 ${2^{\frac{n}{2} + 1}}\frac{n}{2}\Gamma (\frac{n}{2})$

再来看第二项积分

令y = 2t dy = 2dt 有

$\int\limits_0^\infty {{{(2t)}^{\frac{m}{2} - 2}}{e^{ - t}}2.dt}$

$= {2^{\frac{m}{2} - 1}}\int\limits_0^\infty {{t^{\frac{{m - 2}}{2} - 1}}{e^{ - t}}dt} = {2^{\frac{m}{2} - 1}}\frac{n}{2}\Gamma (\frac{{m - 2}}{2})$

${2^{\frac{m}{2} - 1}}\frac{2}{{m - 2}}\Gamma (\frac{m}{2})$

所以得到

$E[F'] = \frac{m}{{m - 2}}$

二阶矩

$E[F] = {K_n}{K_m}{(\frac{m}{n})^2}\int\limits_0^\infty {{x^{\frac{n}{2} + 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}dx\int\limits_0^\infty {{y^{\frac{m}{2} - 3}}{e^{ - \frac{y}{2}}}dy} }$

令x = 2t然后有

$\int\limits_0^\infty {{{(2t)}^{\frac{n}{2} + 1}}{e^{ - t}}2.dt}$ $= {2^{\frac{n}{2} + 2}}\int\limits_0^\infty {{t^{\frac{{n + 4}}{2} - 1}}{e^{ - t}}dt} = {2^{\frac{n}{2} + 2}}\Gamma (\frac{{n + 4}}{2})$

得到

${2^{\frac{n}{2}}}n.(n + 2)\Gamma (\frac{n}{2})$

第二项积分

$\int\limits_0^\infty {{{(2t)}^{\frac{m}{2} - 3}}{e^{ - t}}2.dt}$

$= {2^{\frac{m}{2} - 2}}\int\limits_0^\infty {{t^{\frac{{m - 4}}{2} - 1}}{e^{ - t}}dt} = {2^{\frac{m}{2} - 2}}\frac{n}{2}\Gamma (\frac{{m - 4}}{2})$

$= \frac{{{2^{\frac{m}{2}}}}}{{(m - 4)(m - 2)}}\Gamma (\frac{m}{2})$

所以二阶矩为

$E[{F^2}] = \frac{{{m^2}(n + 2)}}{{n(m - 4)(m - 2)}}$

F分布的方差

Var( F) = E [F²] - E[F]²

根据以上结果可以得到:

$Var[F] = 2.\frac{{{m^2}}}{{{{(m - 2)}^2}}}.\frac{{n + m - 2}}{{n(m - 4)}}$

得到均值和方差的第二种方法:

${f_{n,m}}(x) = {K_{n,m}}\frac{{{x^{\frac{n}{2} - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{\frac{{m + n}}{2}}}}}$

$E[{X^k}] = {K_{n,m}}\int_0^\infty {\frac{{{x^k}.{x^{\frac{n}{2} - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{\frac{{m + n}}{2}}}}}dx}$

首先让我们了解一下形如

$I(\alpha ,\beta ) = \int_0^\infty {\frac{{{x^\alpha }}}{{{{(nx + m)}^\beta }}}dx}$

的递归积分，α 和 β都是正数，且β > α + 2

第一种递归关系:

$I(\alpha ,\beta ) = \int_0^\infty {\frac{{{x^\alpha }}}{{{{(nx + m)}^\beta }}}dx} = \int_0^\infty {\frac{{{x^{\alpha - 1}}.x}}{{{{(nx + m)}^\beta }}}dx}$

$= \frac{1}{n}\int_0^\infty {\frac{{{x^{\alpha - 1}}(nx + m - m)}}{{{{(nx + m)}^\beta }}}dx}$

$= \frac{1}{n}\int_0^\infty {\frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{\beta - 1}}}}dx} - \frac{m}{n}\int_0^\infty {\frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{{{(nx + m)}^\beta }}}dx}$

$= \frac{1}{n}[I(\alpha - 1,\beta - 1) - mI(\alpha - 1,\beta )]$

第二种递归关系:

	u = x ^α	然后 u' = α x^{α -1}
	v = n^-1 (1 - β) ^-1( nx + m)^1- ^β	然后 v' = (nx + m) ^{- β}

根据分布积分公式有

$I(\alpha ,\beta ) = \int_0^\infty {\frac{{{x^\alpha }}}{{n(1 - \beta ){{(nx + m)}^{\beta - 1}}}}dx}$ $+ \frac{\alpha }{{n(1 - \beta )}}\int_0^\infty {\frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{\beta - 1}}}}dx}$

$= 0 + \frac{\alpha }{{n(1 - \beta )}}I(\alpha - 1,\beta - 1)$

$I(\alpha ,\beta ) = \frac{1}{n}[I(\alpha - 1,\beta - 1) - mI(\alpha - 1,\beta )] = \frac{1}{n}[\frac{{n(1 - \beta )}}{\alpha }I(\alpha ,\beta ) - mI(\alpha - 1,\beta )]$

$= \frac{{(1 - \beta )}}{\alpha }I(\alpha ,\beta ) - \frac{m}{n}I(\alpha - 1,\beta )$

也就是

$I(\alpha + 1,\beta ) = \frac{m}{n}\frac{{(\alpha + 1)}}{{\beta - \alpha - 2}}I(\alpha ,\beta )$

现在来计算参数K，

$\int\limits_0^\infty {{f_{n,m}}(x)} = {K_{n,m}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{\frac{n}{2} - 1}}}}{{{{(nx + m)}^{\frac{{m + n}}{2}}}}}dx} = {K_{n,m}}I(\alpha ,\beta ) = 1$

* α = n/2 - 1

* β = (n + m)/2

$I(\frac{{n - 2}}{2},\frac{{n + m}}{2}) = \frac{1}{{{K_{n,m}}}}$

$E[X] = {K_{n,m}}I(\alpha + 1,\beta ) = {K_{n,m}}\frac{m}{n}\frac{{\frac{n}{2} + 1 - 1}}{{\frac{{n + m}}{2} - \frac{{n - 2}}{2} - 2}}.\frac{1}{{{K_{n,m}}}}$

$E[X] = \frac{m}{{m - 2}}$

同理可算得二阶矩为:

$E[{X^2}] = \frac{{{m^2}(n + 2)}}{{n(m - 4)(m - 2)}}$