kalman filter

最近在看haykin的《adaptive filter theory》中介绍的kalman filter的时候发现和其他一些书上表述的内容并不一致，所以推导了一下

根据式10.59

$\hat x(n|{y_n}) = \mathbb{F}(n,n + 1)\hat x(n + 1|{y_n})$

$\hat x(n + 1|{y_n}) = \mathbb{F}(n + 1,n)\hat x(n|{y_{n - 1}}) + G(n)\alpha (n)........................................................................{\rm{(1)}}$

$\mathbb{F}(n,n + 1)\hat x(n + 1|{y_n}) = \mathbb{F}(n,n + 1)\mathbb{F}(n + 1,n)\hat x(n|{y_{n - 1}}) + \mathbb{F}(n,n + 1)G(n)\alpha (n)....................{\rm{(2)}}$

$\hat x(n - 1|{y_{n - 1}}) = \mathbb{F}(n - 1,n)\hat x(n|{y_{n - 1}})..........................................................................................{\rm{(3)}}$

${\rm{multiply }}\mathbb{F}(n,n + 1){\rm{ to both side of equation (1)[}}that is {\rm{10}}{\rm{.45}}]and put (3)[{\rm{10}}{\rm{.59}}] to (2){\rm{ }}then$

对10.45也就是（1）两边同乘 $\mathbb{F}(n,n + 1){\rm{ }}$ ,然后将10.59和（3）代入（2）便有

$\hat x(n|{y_n}) = \hat x(n|{y_{n - 1}}) + \mathbb{F}(n,n + 1)G(n)\alpha (n)$

其中 $\mathbb{F}(n,n + 1)G(n)$ 恰好对应其他算法中介绍的K增益。