背包问题----完全背包(最优方案总数分析及实现)

本人博文《背包问题----完全背包(详解|代码实现|背包具体物品的求解)》中已详细谈过完全背包问题，同时在博文《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》中也总结过01背包的最优方案总数的实现。这里我们模仿01背包最优方案总数方法给出完全背包的最优方案求解方法。

重写完全背包的动态规划的状态及状态方程：

完全背包是在N种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在空间为V的背包里，每种物品的体积为C₁，C₂，…，C_n，与之相对应的价值为W₁,W₂，…，W_n.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大。

设物品种类为N，背包容量为V，每种物品的体积为C[i]，价值为W[i]。

子问题定义：F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

状态方程为：

(2-2)

在文章《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》中曾定义G[i][j]代表F[i][j]的方案总数。这里我们也做相同的定义，那么最终的结果应该为G[N][V]。

由01背包转变到完全背包后G[i][j]该怎么求？

对于01背包来说，G[i][j]求法如下（摘自：《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》）：

如果F[i][j]=F[i-1][j]且F[i][j]!=F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明在状态[i][j]时只有前i-1件物品的放入才会使价值最大，所以第i件物品不放入，那么到状态[i][j]的方案数应该等于[i-1][j]状态的方案数即G[i][j]=G[i-1][j]；

如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]!=F[i-1][j]说明在状态[i][j]时只有第i件物品的加入才会使总价值最大，那么方案数应该等于[i-1][j-C[i]]的方案数，即G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]；

如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]=F[i-1][j]则说明即可以通过状态[i-1][j]在不加入第i件物品情况下到达状态[i][j]，又可以通过状态[i-1][j-C[i]]在加入第i件物品的情况下到达状态[i][j]，并且这两种情况都使得价值最大且这两种情况是互斥的，所以方案总数为G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]+ G[i-1][j]。

对于完全背包，我们也可以根据其状态方程来进行条件判断：

如果F[i][j] = F[i-1][j]且F[i][j] != F[i][j-C[i]]+W[i]，说明背包总不存在第i种物品，也就是说背包种物品仍由前i-1种物品组成，那么应该有G[i][j] = G[i-1][j]；

如果F[i][j] = F[i][j-C[i]]+W[i]且F[i][j] != F[i-1][j]，则说明背包中必定存在第i种物品使背包达到[i][j]状态的最大值，G[i][j] = G[i][j-C[i]]；

如果F[i][j] = F[i][j-C[i]]+W[i]且F[i][j] = F[i-1][j]，则说明背包中存在i与不存在i都可以达到最大值，那么这个方案数应该由两者叠加，因为这两种情况是互斥的，即G[i][j] = G[i-1][j]+G[i][j-C[i]]。

伪代码如下（注意和01背包情况的区分）：

[cpp]view
 plaincopy

F[0][] ← 0  

F[][0] ← 0  

G[][ ] ← 1  

for i ← 1 to N  

    do for j ← 1 to V  

        F[i][j] ← F[i-1][j]  

        G[i][j] ← G[i-1][j]  

        if (j >= C[i])  

            if (F[i][j] < F[i][j-C[i]]+W[i])  

                then F[i][j] ← F[i][j-C[i]]+W[i]  

                     G[i][j] ← G[i][j-C[i]]  

            else if (F[i][j] = F[i][j-C[i]]+W[i])  

                then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i][j-C[i]]  

return F[N][V] and G[N][V]

同样，上述方法在保存状态F[][]及G[][]时需要O(NV)的空间复杂度，下面我们对空间复制度进行优化。

压缩空间复杂度为O(V)

F[i][j]与G[i][j]只分别与F[i-1][]和G[i-1][]的状态有关，所以我们可以用两个一维数组F[]和G[]来替换二维数组F[][]和G[][]。

直接给出伪代码：

[cpp]view
 plaincopy

F[] ← 0  

G[] ← 1  

for i ← 1 to N  

    do for j ← C[i] to V  

        if (F[j] < F[j-C[i]]+W[i])  

            then F[j] ← F[j-C[i]]+W[i]  

                 G[j] ← G[j-C[i]]  

        else if (F[j] = F[j-C[i]]+W[i])  

            then G[j] ← G[j]+G[j-C[i]]  

return F[V] and G[V]

和01背包的最优方案总数相比上述伪代码只是调换了一下C[i]与V的遍历顺序，具体思想请看博文《背包问题——“完全背包”详解及实现（包含背包具体物品的求解）》

下面对数据表给出以上两种不同空间复杂度的详细代码：

完全背包数据表（背包容量为10）
物品号i	1	2	3
体积C	2	2	2
价值W	5	5	5

因为完全背包的方案一般较多，这里只列举3种物品，方便大家验证。

//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)

#include <iostream>
#include <cstring>
#define N 101
using namespace std;
int MaxValueTable[N][N],OptimalTable[N][N];
int Package02Optimal(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
{


	//initiallize all OptimalTable[][] with 1
	for(int i = 0; i <= nLen; i++)
		for(int j = 0; j <= nCapacity; j++)
			OptimalTable[i][j] = 1;
	
	for(int i2 = 1; i2 <= nLen; i2++)
	{
		for(int j2 = 1; j2 <= nCapacity; j2++)
		{
			MaxValueTable[i2][j2] = MaxValueTable[i2-1][j2];
			OptimalTable[i2][j2] = OptimalTable[i2-1][j2];
			if(j2 >= Weight[i2-1])
			{
			   	if(MaxValueTable[i2][j2] < MaxValueTable[i2][j2-Weight[i2-1]]+Value[i2-1])
				{
					MaxValueTable[i2][j2] = MaxValueTable[i2][j2-Weight[i2-1]]+Value[i2-1];
					OptimalTable[i2][j2] = OptimalTable[i2][j2-Weight[i2-1]];
				}
				else if(MaxValueTable[i2][j2] == (MaxValueTable[i2][j2-Weight[i2-1]]+Value[i2-1]))
				{
					OptimalTable[i2][j2] = OptimalTable[i2-1][j2]+OptimalTable[i2][j2-Weight[i2-1]];
				}
			}
		}
	}

	cout << endl << "OptimalCount:" << OptimalTable[nLen][nCapacity] << endl;

	int nRet = MaxValueTable[nLen][nCapacity];

	return nRet;
}
int main()  
{  
    //int Weight[] = {3,2,5,1,6,4};  
    //int Value[] =  {6,5,10,2,16,8};  
    int Weight[] = {2,2,2};  
    int Value[] =  {5,5,5};  
    int nCapacity = 10;  
    cout << "MaxValue:" << Package02Optimal(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
  //  cout << "MaxValue:" << Package02Optimal_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
    return 0;  
}

//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(V)

#include<iostream>
using namespace std;
#define Size 1111

int dp[Size];
int OptimalTable[Size];
int Max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int goodsN, int maxWeight){
	int i,j;
	/*======初始化======*/
    memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int kt=0;kt<=maxWeight;kt++)
	OptimalTable[kt]=1;
	/*======初始化======*/
		for(i=1;i<=goodsN;i++)      //即怎么都有一种
			for(j=Weight[i];j<=maxWeight;j++){	
				if(dp[j]<(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){//说明选第i最优
					dp[j] = dp[j-Weight[i]]+Value[i];
					OptimalTable[j]=OptimalTable[j-Weight[i]];//方案数和[j-Weight[i]]一样
				}
				else if(dp[j]==(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){
				 OptimalTable[j] = OptimalTable[j-Weight[i]]+OptimalTable[j];
				}
			
			}
	return dp[maxWeight];		
    }
int main()
{
    int va[Size],vm[Size];
    
    int t,n,m;
    int i;
    cin>>t; //t组测试数据
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m; //n为个数,m为最大载重量
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>va[i];
        for(i=1;i<=n;i++)
			cin>>vm[i];

		int myWhats=Package01_Compress(vm,va, n, m);
		cout<<myWhats<<endl;
		cout<<"-----一共有"<<OptimalTable[m]<<"组最优情况"<<endl;
         	
	}
	return 0;
}

today lazy . tomorrow die .